E xercice 1 5 points

Lycée Carnot Epreuve commune de mathématiques n˚2-Terminales S 18 Février 2010 Calculatrice autorisée S p ´ ecialit ´ e M ath ematiques ´ Durée : 4 heures

La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E xercice 1 5 points

Partie A : Restitution Organisée de Connaissances On suppose connu comme prérequis que :

• Pour tous les entiers naturels a, b et k non nuls, pgcd(ka, kb) = k × pgcd(a, b) ppcm(ka, kb) = k × ppcm(a, b)

• Si les entiers naturels a et b sont premiers entre eux alors ppcm(a, b) = a × b 1. Soient a et b deux entiers naturels, montrer l’équivalence :

d = pgcd(a, b) ⇐⇒ il existe deux entiers naturels a ⁰ et b ⁰ premiers entre eux tels que a = da ⁰ et b = db ⁰ 2. Montrer que, pour tous les entiers a et b, ppcm(a, b) × pgcd(a, b) = a × b

Partie B

Le but de cette partie est de trouver tous les couples d’entiers naturels (a, b) tels que

( a ² + b ² = 801

ppcm(a, b) = 120 (S) 1. (a) Calculer le pgcd de 801 et 120 (Expliquez votre réponse)

(b) Soit d = pgcd(a, b), montrer que si (a, b) est solution du système (S) alors d = 1 ou d = 3 2. (a) Montrer que si (a, b) est solution du système (S) alors (a + b) ² = 801 + 240d

(b) Exprimer de façon similaire (a − b) ² en fonction de d.

3. Trouver tous les couples (a, b) solutions du système



 

 

a ² + b ² = 801 ppcm(a, b) = 120

E xercice 2 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal O, ~ u,~ v

. Les deux parties A et B sont indépendantes l’une de l’autre.

Partie A Soit j = e ⁱ

1. Montrer que les solutions dans C de l’équation z ³ = 1 sont 1, j et j

2. Montrer que quel que soit le nombre complexe non nul a, les points A(a), B(a × j) et C(a × j ) sont les sommets d’un triangle équilatéral.

3. Soit (E) l’équation z ³ + 8 = 0

(a) Trouver une racine réelle de (E) on la notera z ₀ . En déduire l’équivalence : z solution de (E) ⇐⇒ z

z ₀

! 3

= 1.

Résoudre alors l’équation (E).

(b) Soit A, B et C les points dont les affixes sont les solutions de (E). Quelle est la nature du triangle ABC ? Partie B

Soient les points A et B d’a ffi xes respectives z _A = (3 + 2i) et z _B = (−1 + 4i). Extérieurement au triangle OAB on construit le carré direct OA ₁ A ₂ A. On a donc

−−−→

OA ₁ ; −−→

OA

= + π/2.

1. Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.

2. Déterminer l’affixe du point I centre du carré OA ₁ A ₂ A 3. Soit J le point d’a ffi xe

√ 2

2 × z B × e ⁱ

Quelle est la nature du triangle OBJ ?

4. Soit K le milieu du segment [AB], démontrer que le cercle de diamètre [I J] passe par K

E xercice 3 4 points

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes l’une de l’autre.

1. On considère l’inéquation (E) : ln x( x − 4)

6 2 ln 2 et l’inéquation (F) : ln x + ln(x − 4) 6 ln 4 Montrer que l’ensemble des solutions de (F) est strictement inclus dans l’ensemble des solutions de (E)

2. La suite (u n ) est géométrique de raison 2 de premier terme u ₀ = 1. On pose v n = ln(u n ).

Montrer que la suite (v n ) est arithmétique et calculer v ₂₀₁₀

3. f est la fonction définie sur ]0; + ∞ [ par f (x) = ln x + 1. On note C f sa courbe représentative.

La suite (u n ) est définie par u n + 1 = f (u n ) et u ₀ = a où a est un réel strictement supérieur à 1.

(a) Tracer C f et la droite T tangente à C f au point d’abscisse 1.

(b) Conjecturer le sens de variations et la limite de la suite (u n )

E xercice 4 6 points

Soit f et g les fonctions définies sur R par f (x) = 3 − 2e ^1−x et g(x) = f (x) − x

1. Etudier le sens de variation de f .

2. (a) Etudier le sens de variation de g et ses limites, en démontrant tous les éléments du tableau suivant :

x −∞ 1 + ln(2) + ∞

g ⁰ (x) + 0 −

g(x) −∞

1 − ln(2)

−∞

(b) Démontrer que la courbe de g admet une asymptote en + ∞.

(c) Démontrer que g s’annule en deux points exactement, dont l’un est un nombre entier.

A l’aide de la calculatrice, on donnera un encadrement d’amplitude 0,01 de l’autre, nommée α.

3. Soit une suite u vérifiant u n + 1 = f (u n ) pour tout n entier naturel.

(a) Démontrer que, si u a une limite réelle L, alors L ne peut être égale qu’à 1 ou à α.

(b) Dans cette question, on suppose u ₀ = 0 : Déterminer le sens de variation de u

u est-elle convergente ? u est-elle minorée ? (Justifier les deux réponses).

Lycée Carnot Epreuve commune de mathématiques n˚2-Terminales S 18 Février 2010 Calculatrice autorisée S p´ ecialit´ e P hysique ou S.V.T. Durée : 4 heures

La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E xercice 1 5 points Soit (E) l’équation di ff érentielle

y ⁰ = −y − x + 2

1. Démontrer qu’il existe une unique fonction affine u solution de (E) et déterminer u.

2. La fonction v est définie sur R par v(x) = −x + 3.

Démontrer l’équivalence suivante pour toute fonction f dérivable sur R : f est solution de (E) ⇐⇒ f − v est solution de l’équation y ⁰ = −y 3. En déduire l’ensemble des solutions de (E).

On vérifiera que la fonction g définie par : g( x) = 3 − 2e ^1−x − x est une solution de (E).

4. Déterminer l’ensemble des solutions de (E) qui sont strictement décroissantes.

5. Soit D la droite d’équation y = − x + 3

Démontrer que la seule solution de (E) dont la courbe admet une tangente parallèle à D est la fonction u

6. Pour tout a réel, soit A le point de la courbe de g d’abscisse a. On appelle T la tangente en A à la courbe de g, M le point d’abscisse a sur la droite D, et N le point d’intersection de la tangente T et de la droite D.

Démontrer que, pour tout a réel, − −− →

MN est le vecteur constant de coordonnées (1; −1)

E xercice 2 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal O, ~ u,~ v

. Les deux parties A et B sont indépendantes l’une de l’autre.

Partie A Soit j = e ⁱ

1. Montrer que les solutions dans C de l’équation z ³ = 1 sont 1, j et j

2. Montrer que quel que soit le nombre complexe non nul a, les points A(a), B(a × j) et C(a × j ) sont les sommets d’un triangle équilatéral.

3. Soit (E) l’équation z ³ + 8 = 0

(a) Trouver une racine réelle de (E) on la notera z ₀ . En déduire l’équivalence : z solution de (E) ⇐⇒ z

z ₀

! 3

= 1.

Résoudre alors l’équation (E).

(b) Soit A, B et C les points dont les a ffi xes sont les solutions de (E). Quelle est la nature du triangle ABC ? Partie B

Soient les points A et B d’a ffi xes respectives z _A = (3 + 2i) et z _B = (−1 + 4i). Extérieurement au triangle OAB on construit le carré direct OA ₁ A ₂ A. On a donc

−−−→

OA ₁ ; −−→

OA

= + π/2.

1. Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.

2. Déterminer l’affixe du point I centre du carré OA ₁ A ₂ A 3. Soit J le point d’a ffi xe

√ 2

2 × z _B × e ⁱ

Quelle est la nature du triangle OBJ ?

4. Soit K le milieu du segment [AB], démontrer que le cercle de diamètre [I J] passe par K

E xercice 3 4 points

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes l’une de l’autre.

1. On considère l’inéquation (E) : ln x( x − 4)

6 2 ln 2 et l’inéquation (F) : ln x + ln(x − 4) 6 ln 4 Montrer que l’ensemble des solutions de (F) est strictement inclus dans l’ensemble des solutions de (E)

2. La suite (u n ) est géométrique de raison 2 de premier terme u ₀ = 1. On pose v n = ln(u n ).

Montrer que la suite (v n ) est arithmétique et calculer v ₂₀₁₀

3. f est la fonction définie sur ]0; + ∞ [ par f (x) = ln x + 1. On note C f sa courbe représentative.

La suite (u n ) est définie par u n + 1 = f (u n ) et u ₀ = a où a est un réel strictement supérieur à 1.

(a) Tracer C f et la droite T tangente à C f au point d’abscisse 1.

(b) Conjecturer le sens de variations et la limite de la suite (u n )

E xercice 4 6 points

Soit f et g les fonctions définies sur R par f (x) = 3 − 2e ^1−x et g(x) = f (x) − x

1. Etudier le sens de variation de f .

2. (a) Etudier le sens de variation de g et ses limites, en démontrant tous les éléments du tableau suivant :

x −∞ 1 + ln(2) + ∞

g ⁰ (x) + 0 −

g(x) −∞

1 − ln(2)

−∞

(b) Démontrer que la courbe de g admet une asymptote en + ∞.

(c) Démontrer que g s’annule en deux points exactement, dont l’un est un nombre entier.

A l’aide de la calculatrice, on donnera un encadrement d’amplitude 0,01 de l’autre, nommée α.

3. Soit une suite u vérifiant u n + 1 = f (u n ) pour tout n entier naturel.

(a) Démontrer que, si u a une limite réelle L, alors L ne peut être égale qu’à 1 ou à α.

(b) Dans cette question, on suppose u ₀ = 0 : Déterminer le sens de variation de u

u est-elle convergente ? u est-elle minorée ? (Justifier les deux réponses).