Page 1/2 Lycée Carnot
Epreuve commune de mathématiques n˚2-Terminales S
16 Février 2012Calculatrice autorisée Sp´ecialite´Maths Durée : 4 heures
La qualité de la rédaction, la clarté de la rédaction et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice1 5points
On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x) = 2 ln(x) −(ln(x))2 et la fonction g définie sur ]0;+∞[ par g(x)= 1−ln(x)
x .
1. Etudier les limites de f et degen+∞et en 0 à droite.
2. Etudier le signe de f(x) et celui deg(x) (justifier)
3. Calculer la dérivée f0de f et démontrer que f0a le même signe queg.
En déduire la tableau de variation de f
4. Soitkun nombre réel. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x)=k(d’inconnuex) suivant les valeurs dek
5. Démontrer que, pour tout réelastrictement positif, f e2 a
!
= f(a)
6. Résoudre l’équation f(x)=−3. Montrer que le résultat est cohérent avec les questions 4 et 5.
Exercice2 5points
1. R.O.C.
Soienta,b,ctrois nombres entiers non nuls et l’équation (E) :a.x+b.y = coù les inconnues sont les nombres entiersx ety. Montrer l’équation (E) admet au moins un couple de solution si et seulement si le pgcd deaetb divisec.
2. Le plan est muni d’un repère orthonormé. Déterminer graphiquement les couples de nombres entiers compris entre
−10 et 10 tels que 3x−4y=−1.
3. Soientxetydeux nombres entiers.
(a) Justifier l’équivalence : 3x−4y=−1⇐⇒3x≡3 mod (4) ety= 3x+1
4 .
(b) Résoudre dansZ, la congruence 3x≡3 mod (4).
(c) Déduire des questions précédentes l’ensemble des solutions de l’équation (E) : 3x−4y=−1.
4. Soit l’équation (F) : 3x2−4y=−1 oùxetysont des nombres entiers.
(a) Représenter sans justification et avec soin sur l’intervalle [−5; 5], la paraboleP:y= 3x2+1
4 et déterminer graphiquement les points de cette parabole à coordonnées entières.
(b) Montrer que si (x,y) est un couple solution de (F), alorsxest impair.
(c) Montrer que pour tout entier impair x, il existe un unique entierytel que (x,y) est solution de (F).
(d) Déduire des questions précédentes, l’ensemble de toutes les solutions de (F).
(e) Combien y-a-t-il de couples solutions de (F) tels que 206 x6100 et 2006y61000 ?
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Exercice3 5points
On dispose de deux boîtes de biscuits indiscernables au toucher.
Ces boîtes contiennent deux sortes de biscuits : des biscuits au chocolat et des biscuits ordinaires. Ces différents biscuits sont également indiscernables au toucher.
•La première boîte, que l’on appelle A, comporte 12 biscuits au chocolat et 18 ordinaires.
•La deuxième boîte, que l’on appelle B, comporte 12 biscuits au chocolat et 28 ordinaires.
On choisit les yeux fermés une boîte au hasard, puis, toujours les yeux fermés, dans cette boîte un biscuit au hasard. On doit deviner si le biscuit est au chocolat ou ordinaire.
On considère les événements :
A : « La boîte choisie est la boîte A ».
C : « Le biscuit choisi est au chocolat ».
On note E l’événement contraire d’un événement E.
1. Dresser un arbre probabiliste qui rende compte de cette expérience aléatoire.
2. Au moment où l’on va choisir un biscuit, un spectateur auquel on sait pouvoir faire confiance annonce qu’on a choisi la boîte B. Quelle est alors la probabilitép1de choisir un biscuit au chocolat ?
3. Les autres spectateurs ayant protesté devant cette tricherie, on recommence le choix de la boîte puis du biscuit, cette fois dans un silence complet. Quelle est la probabilitép2 de choisir un biscuit au chocolat qui provienne de la boîte B ?
4. Quelle est en fait la probabilitép3de choisir un biscuit au chocolat dans ce jeu ?
5. On a choisi un biscuit et on rouvre les yeux. On constate alors que ce biscuit est au chocolat. Quelle est la probabilité p4qu’il provienne de la boîte B ? On mettra le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
6. Deux participants jouent à ce jeu indépendamment l’un de l’autre. Quelle est la probabilité p5 que le premier choisisse un biscuit au chocolat et le deuxième un biscuit ordinaire ?
Exercice4 5points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, ~u,~v
d’unité graphique 2 cm.
On considère les pointsA,BetCd’affixes respectives : zA=−2i,zB =−√
3+ietzC = √ 3+i 1. (a) ÉcrirezA,zB, etzC sous forme exponentielle.
(b) En déduire le centre et le rayon du cercleΓpassant par les pointsA,BetC.
(c) Faire une figure et placer le pointA, tracer le cercle puis placer les pointsBetC.
2. (a) Écrire le quotient zB−zA zC−zA
sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
(b) En déduire la nature du triangleABC.
3. On noterla rotation de centreAet d’angle mesurant π
3 radians.
(a) Montrer que le pointO0, image deOparr, a pour affixe−√ 3−i.
(b) Démontrer que les pointsCetO0sont diamétralement opposés sur le cercleΓ.
(c) Tracer l’imageΓ0du cercleΓpar la rotationr.
(d) Justifier que les cerclesΓetΓ0se coupent enAetB.
4. On noteT la translation de vecteur −−→
CO .
(a) SoitA0l’image deAparT. Quel est son affixe ? (b) Quelle est l’image du cercleΓparT?
