G1912. Surf sur Mathspourtous.com
Zig et Puce surfent sur le site de Mathspourtous.com qui propose à la manière de Diophante.fr des problèmes mathématiques classés selon cinq catégories :
- arithmétique : 240 problèmes numérotés de 1 à 240, - algèbre : 200 problèmes numérotés de 1 à 200, - géométrie : 220 problèmes numérotés de 1 à 220, - combinatoire : 30 problèmes numérotés de 1 à 30, - logique : 20 problèmes numérotés de 1 à 20.
Zig choisit au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie choisit au hasard un problème.
De son côté Puce indépendamment de Zig fait de même.
Zig est amené à résoudre un problème qui a le n°7 et Puce un problème qui a le n°77.
Soient p la probabilité conditionnelle pour que l’un et l’autre aient choisi deux catégories distinctes et m/n la fraction irréductible la plus proche possible de p avec m et n entiers < 99. Calculer 100m + n.
Résolution
Calculons la probabilité des différents événements :
Pr(Zig choisit le pb n°7 d’arithmétique) = Pr(Zig choisit l’arithmétique) * Pr(Zig choisit le pb n°7)
= 1/5 * 1/240 = 1/1200 De même,
Pr(Zig choisit le problème n°7 d’algèbre) = 1/1000 Pr(Zig choisit le problème n°7 de géométrie) = 1/1100 Pr(Zig choisit le problème n°7 de combinatoire) = 1/150 Pr(Zig choisit le problème n°7 de logique) = 1/100 et de même
Pr(Puce choisit le problème n°77 d’arithmétique) = 1/1200 Pr(Puce choisit le problème n°77 d’algèbre) = 1/1000 Pr(Puce choisit le problème n°77 de géométrie) = 1/1100
Ainsi, les probabilités conditionnelles relatives au choix de la catégorie par Zig, connaissant qu’il a choisi le n°7 est :
Pr(Zig choisit l’arithmétique | Zig choisit le pb n°7) = 1/1200
1/1200+1/1000+1/1100+1/150+1/100
= 110/ 2562 de même,
Pr(Zig choisit l’algèbre | Zig choisit le problème n°7) = 132 / 2562 Pr(Zig choisit la géométrie | Zig choisit le problème n°7) = 120 / 2562 et de même,
Pr(Puce choisit l’arithmétique | Puce choisit le pb n°77) = 110 / 362 Pr(Puce choisit l’algèbre | Puce choisit le pb n°77) = 132 / 362 Pr(Puce choisit la géométrie | Puce choisit le pb n°77) = 120 / 362
En conséquence, la probabilité p que Zig et Puce aient choisi la même catégorie vaut : p = (110²+120²+132²) / (362*2562) = 10 981 / 231 861 et donc la probabilité p qu’ils choisissent deux catégories distinctes :
p = 220 880 / 231 861 ; on a 0,95 < p < 0,96 Trouvons la fraction irréductible m/n, avec m et n <99, la plus proche de p.
Comme p > 0,95 et n < 99, n-m ≤ 5 ; par ailleurs comme p>0,95, n>20. On peut alors lister toutes les fractions potentielles avec un dénominateur > 20 et un numérateur compris entre n-1 et n-5 ; il en ressort que la fraction irréductible la plus proche est 20/21.
On a alors 100m+n = 2021.
