A809. Les entiers cachés
Je dispose d’une calculette qui affiche au maximum dix chiffres (par exemple : 3 487 062 139 et 0,073661932)
Q1 – Je choisis 4 nombres premiers distincts a,b,c et d tous inférieurs à 100 et je calcule a/b – c/d. J’obtiens pour résultat 0,180451127.
Déterminer a,b,c et d.
Q2 – Soient les deux nombres décimaux 0,728101457 et 0,635149023. L’un de ces nombres est le résultat affiché par ma calculette d’une fraction irréductible p/q avec p et q entiers inférieurs à 1000. Les décimales de l’autre nombre sont tirées d’une table de nombres au hasard. Trouver les termes p et q de la fraction irréductible.
Solution proposée par Antoine Vanney
Q1
ad-bc≈0,180451127.bd
L’inverse du résultat est 5,541666692, ce qui donne envie de multiplier par 3 puis par 8, ce qui donne 133,0000006. Or 133=7x19.
b=7, d=19 => 19a-7c=24 ; 19(a-2)=7(c-2) ; a=2+7k et c=2+19k pour k=3, a=23 et c=59 sont premiers
23/7-59/19 ≈ 0,1804511278 tronqué à 10 chiffres à 0,180451127
23/7-59/19 ≈ 0,180451127 et on a 2 autres solutions : 37/7-97/19 ≈ 0,180451127
17/19-5/7 ≈ 0,180451127
Q2 a=0,728101457 ; b=0,635149023
Avec un tableur on trouve b≈ 618/973 et on ne trouve pas de solution pour a (la fraction la plus proche est 399/548).
J’y arrive autrement en utilisant la décomposition en fractions successives : b ≈ 5/(8-1/(8-1/(6-1/(3-1/5)))) = 3090/4865 = 618/973
en faisant de même avec a, on trouve
a ≈ 5/(7-2/(15+1/(17+2/(5-3/10)))) = 61660/84686 = 30830/42343 ≈ 0,728101457 ou
a ≈ 5/(7-2/(15+1/(17+3/(7+1/20)))) = 184980/254058 = 30830/42343
a ≈ 30830/42343
