A809 : Les entiers cachés
Je dispose d’une calculette qui affiche au maximum dix chiffres (par exemple : 3 487 062 139 et 0,073661932)
Q1 – Je choisis 4 nombres premiers distincts a,b,c et d tous inférieurs à 100 et je calcule a/b – c/d. J’obtiens pour résultat 0,180451127. Déterminer a,b,c et d.
Q2 – Soient les deux nombres décimaux 0,728101457 et 0,635149023. L’un de ces nombres est le résultat affiché par ma calculette d’une fraction irréductible p/q avec p et q entiers inférieurs à 1000. Les décimales de l’autre nombre sont tirées d’une table de nombres au hasard. Trouver les termes p et q de la fraction irréductible.
Q1 : L’algorithme de développement en fraction continue d’un nombre positif x<1, 1/x=a1+x1,... 1/xn-1=an+xn, avec an=[1/xn-1], où [ ] désigne la partie entière, permet d’approcher x par la fraction An/Bn, avec A1=1, B1=a1, A2=a2, B2=a1a2+1, ..., et An=anAn-1+An-2, Bn=anBn-1+Bn-2.
Pour x=0,180451127, on obtient ainsi a1=5, a2=1, a3=1, a4=5, a5=2, et x5<10-4, soit A5/B5=24/133, qui donne bien l’ensemble des décimales affichées. Or 133=7*19, et l’équation 19a-7c=24 a pour première solution a=c=2, qui ne convient pas, puisque a doit être différent de c; la solution suivante, en nombres premiers, est a=23, c=59;
soit a/b-c/d=23/7-59/19.
Q2 : En développant en fraction continue les nombres 0,728101457 et 0,635149023, on obtient pour le second un reste x7<10-3, avec une séquence an (1,1,1,2,1,6,13) qui donne A7/B7=618/973. Pour le premier nombre, on obtient des valeurs de xn qui restent supérieures à 0,1 pour n≤9, et les convergents à ce stade sont
1438/1975=0,72810127... Le nombre donné ne peut donc être quotient de deux entiers inférieurs à 1000.
