Les entiers cachés
Problème A809 de Diophante
Je dispose d’une calculette qui affiche au maximum dix chiffres (par exemple : 3 487 062 139 et 0,073661932)
Q1 – Je choisis 4 nombres premiers distincts a,b,c et d tous inférieurs à 100 et je calcule a/b – c/d. J’obtiens pour résultat 0,180451127. Déterminer a,b,c et d.
Q2 – Soient les deux nombres décimaux 0,728101457 et 0,635149023. L’un de ces nombres est le résultat affiché par ma calculette d’une fraction irréductible p/q avec p et q entiers inférieurs à 1000. Les décimales de l’autre nombre sont tirées d’une table de nombres au hasard. Trouver les termes p et q de la fraction
irréductible.
Solution
Q1 Décomposons le nombre 0,180451127 en fraction continue. On obtient les approximations : 1 / 5 ; 1 / 6 ; 2 / 11 ; 11 / 61 ; 24 / 133 ; 1655507 / 9174268.
Je suppute que le résultat est 24 / 133, avec 133 = 17 * 19. Avec un peu de Bezout, je trouve que 24 / 133 = 17 / 19 – 5 / 7.
En me limitant à dix chiffres, je calcule 24 / 133 et trouve 0,180451128 .Je calcule alors 17 / 19 – 5 / 7 et trouve aussi 0,180451128.
Merde alors ! Me serai-je trompé ?
Ne soyons pas chiches, je prends mon ordinateur géant et recommence les calculs avec quinze chiffres. Dans les deux cas, je trouve 0,18045112781955.
Ouf ! C’est la calculette de Diophante qui ne fait pas l’arrondi comme la mienne.
Q2 Décomposons les nombres 0,728101457 et 0,635149023 en fractions continues.
On obtient des approximations, pour le premier, qui ne correspondent pas à un résultat convenable. Pour le second, on obtient : 618 / 973, qui donne bien le résultat attendu : 0,63514902363823 (là aussi la calculette de Diophante ne fait pas l’arrondi).
