A809. Les entiers cachés
Je dispose d’une calculette qui affiche au maximum dix chiffres (par exemple : 3 487 062 139 et 0,073661932)
Q1 – Je choisis 4 nombres premiers distincts a,b,c et d tous inférieurs à 100 et je calcule a/b – c/d.
J’obtiens pour résultat 0,180451127. Déterminer a,b,c et d.
Q2 – Soient les deux nombres décimaux 0,728101457 et 0,635149023. L’un de ces nombres est le résultat affiché par ma calculette d’une fraction irréductible p/q avec p et q entiers inférieurs à 1000.
Les décimales de l’autre nombre sont tirées d’une table de nombres au hasard. Trouver les termes p et q de la fraction irréductible.
Solution proposée par Pierre Gineste
Q1 – a/b – c/d = (ad - cb)/bd
==> 0,180451127*bd < (ad – cb) < 0,180451128*bd
(ad – cb) étant un entier, le majorant a forcément une partie entière égale à celle du minorant plus 1.
Recherchons avec le tableur les entiers inférieurs à 10000 tels que ent[0,180451128*bd] - ent[0,180451127*bd] = 1
On trouve n_k = bd = 133k avec k = 2, 3, 4, ….75 et (ad – cb) = 24k Puisque 133 = 7*19 ==> (b, d) = (7, 19) ou (19, 7)
1/ (b, d) = (7, 19)
On a alors: ad – cb = 19a – 7b = 24 (1)
Cherchons (a, b) est solution de 19a – 7b = 1 (2) On a 19 = 7*2 + 5 5 = 19 - 7*2
7 = 5*1 + 2 2 = 7 – 5*1 2 = 7 – (19 -7*2) = 7*3 - 19
5 = 2*2 + 1 1 = 5 – 2*2 1 = (19 – 7*2) – (7*3 – 19)2 = 19*3 - 7*8 (3, 8) est solution de 19a – 7b = 1 (2)
(72=3*24, 192=8*24) est solution de (1) 19a – 7b = 24
19*72 – 7*192 = 24 19(a-72) = 7(b-192)
retranchons 7*19*k aux 2 membres ==> a = 7k + 72 b = 19k +192
Les quadruplets (a,b,c,d) suivants sont solutions: (9,7,21,19), (16,7,40,19), (23,7,59,19), (30,7,78,19), (37,7,97,19)
