A809. Les entiers cachés
Je dispose d’une calculette qui affiche au maximum dix chiffres (par exemple : 3 487 062 139 et 0,073661932) Q1 – Je choisis 4 nombres premiers distincts a,b,c et d tous inférieurs à 100 et je calcule a/b – c/d. J’obtiens pour résultat 0,180451127. Déterminer a,b,c et d.
Q2 – Soient les deux nombres décimaux 0,728101457 et 0,635149023. L’un de ces nombres est le résultat affiché par ma calculette d’une fraction irréductible p/q avec p et q entiers inférieurs à 1000. Les décimales de l’autre nombre sont tirées d’une table de nombres au hasard. Trouver les termes p et q de la fraction
irréductible.
Solution proposée par Maurice Bauval
Q1 : En examinant systématiquement tous les quotients approchés de a/b – c/d où a,b,c,d sont des nombres premiers inférieurs à 100, on trouve que 17/19 – 5/7 = 23/7 – 59/19 = 37/7 – 97/19 sont égaux à 24 /133 et sont les mieux adaptés pour s’approcher de 0.180451127.
Cependant un encadrement du quotient 24 /133 est : 0.180451127819548 < 24/133 < 0.180451127819549.
La calculette affiche donc une valeur approchée par défaut, et pas la valeur arrondie qui serait 0.180451128
Q2 : Les réduites successives de 0.728101457 sont :
2/3 3/4 8/11 75/103 83/114 158/217 241/331 399/548 1438/1975 1837/2523 28993/39820 30830/42343 Avec 399/548 dont une valeur approchée est 0.728102190 , on est trop loin du but.
Seule la dernière fraction donne une valeur approchée par défaut égale à 0.728101457, mais comme l’énoncé nous limite à p et q inférieurs à 1000 elle nous est interdite. C’est donc que l’ « autre nombre » est 0.728101457
Les réduites successives de 0.635149023 sont : 1/2 2/3 5/8 7/11 47/74 618/973 1022219/1609416.
Une valeur approchée de 47/74 est 0.635135135, trop loin du but.
Une valeur approchée de 618/973 est 0.6351490236
La calculette n’arrondit pas au plus proche qui serait 0.635149024, elle affiche pour résultat de 618/973, une valeur approchée par défaut donc 0.635149023
p et q sont 618 et 973.
