Enonc´e noA809 (Diophante) Les entiers cach´es
Je dispose d’une calculette qui affiche au maximum dix chiffres (par exemple : 3487062139 et 0,073661932)
Q1 – Je choisis 4 nombres premiers distincts a, b, c et d tous inf´erieurs `a 100 et je calculea/b−c/d. J’obtiens pour r´esultat 0,180451127. D´eterminer a, b, c etd.
Q2 – Soient les deux nombres d´ecimaux 0,728101457 et 0,635149023. L’un de ces nombres est le r´esultat affich´e par ma calculette d’une fraction irr´eductible p/q avec p et q entiers inf´erieurs `a 1000. Les d´ecimales de l’autre nombre sont tir´ees d’une table de nombres au hasard. Trouver les termes p etq de la fraction irr´eductible.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour approcher un nombre par une fraction rationnelle `a taille de d´enominateur limit´ee, la meilleure approximation est donn´ee par les r´eduites successives de la fraction continue ´egale `a ce nombre.
Il s’agit d’approcher des nombres donn´es `a 10−9 pr`es, avec des petits d´enominateurs ; la “bonne” r´eduite est celle qui s’approche du nombre donn´e assez pr`es pour que la r´eduite suivante ait un d´enominateur bien plus grand (infini s’il n’y avait pas les erreurs d’arrondi).
Question 1
Les r´eduites successives de 0,180451127 (qui me sont donn´ees par un petit programme bas´e sur l’algorithme du PGCD) sont : 1/5, 1/6, 2/11, 11/61, 24/133, 1655507/9174268, 4966545/27522937, et finalement 180451127/1000000000.
Puisque ce nombre repr´esente (ad −bc)/(bd), le meilleur candidat est 24/133 = 0,1804511278195. . ., etbd= 133 = 7·19.
Si b = 7, d = 19, il faut r´esoudre 19a−7c = 24, d’o`u a= c = 2 qui ne convient pas.
Il faut prendreb= 19, d= 7 et 7a−19c= 24 conduit `aa= 17, c= 5.
Question 2
R´eduites de 0,728101457 : 1/1, 2/3, 3/4, 8/11, 75/103, 83/114, 158/217, 241/331, 399/548, 1438/1975, . . .
La meilleure approximation dans les limites fix´ees `apetqserait 399/548 = 0,728102190, pr´ecision “banale” vis-`a-vis de cette taille de d´enominateur, mais ne co¨ıncidant pas avec la fraction de l’´enonc´e. Il s’agit du “leurre”
tir´e d’une table de nombres au hasard.
R´eduites de 0,635149023 : 1/1, 1/2, 2/3, 5/8, 7/11, 47/74, 618/973, 1022219/1609416, . . .
On v´erifie que 618/973 = 0,635149023638. . ., donc p = 618, q = 973. On remarque au passage que la calculette de Diophante arrondit syst´ematiquement par d´efaut.
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