Diophante A374 Les entiers sympathiques Q1
Considérons x paires dans {1, 2, ... , p} dont les sommes sont deux à deux distinctes et au plus égales à p. La somme des 2x entiers naturels est au moins égale à 1 + 2 + ... + 2x et au plus égale à p + (p-1) + ... + (p-x+1). L’inégalité nous donne x(2x + 1) ≤ px – (x-1)x/2 soit x ≤ (2p-1)/5. En reprenant la terminologie de l’énoncé (x et p deviennent respectivement k et n- 1), si k est sympathique, alors k ≤ r0 = (2n-3)/5.
Q2
Lorsque r0 est un entier, n est de la forme 4 + 5l et r0 = 1 + 2l. k atteint r0 car il est possible d’appairer les entiers naturels de 1 à 2r0 = 2 + 4l de sorte que les sommes soient les entiers naturels de [(n-1) – r0 + 1] = 3 + 3l à n-1 = 3 + 5l. Les paires sont par exemple {2, 1 + 3l}, {4, 3l}, ... , {2l, 2 + 2l} (sommes de 3 + 3l à 2 + 4l) puis {1, 2 + 4l}, {3, 1 + 4l}, ... , {1 + 2l, 2 + 3l} (sommes de 3 + 4l à 3 + 5l). Lorsque r0 est un entier, il est lui-même sympathique.
Application numérique n = 14
l = 2. Les r0 = 5 paires sont {2, 7}, {4, 6} (sommes de 9 à 10) puis {1, 10}, {3, 9}, {5, 8}
(sommes de 11 à 13).
n = 5049
l = 1009. Les r0 = 2019 paires sont {2, 3028}, {4, 3027}, ... {2018, 2020} (sommes de 3040 à 4038) puis {1, 4038}, {3, 4037}, ... , {2019, 3029} (sommes de 4039 à 5048).
Jean-Louis Legrand
