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Suites
Définition
Une suite est une fonction numérique définie sur l'ensemble des entiers naturels IN , ou sur l'ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n 0 .
L'image d'un entier naturel n est notée u(n) ou u n (c'est la notation indicielle).
n est souvent appelé l'indice ou le rang du terme u n . La suite est notée (u n ) n ∈ IN ou (u n ) n³n
0
. Exemples
1°) On considère la suite (u n ) n ∈ IN définie par u n = n n 2 + 1
Cette suite est définie par la donnée explicite de u n pour tout entier n.
On peut calculer facilement un terme quelconque : u 0 = 0
0 2 + 1 = 0 ; u 10 = 10
10 2 + 1 = 10
101 ; u 3254 = 3254 3254 2 + 1
2°) On considère la suite (u n ) n³1 définie par u 1 = 2 et la relation u n+1 = -3u n + 1 pour tout n ³ 1 .
La suite est définie par son premier terme u 1 et par une relation (dite relation de récurrence) permettant de passer d'un terme au terme suivant.
En utilisant la relation de récurrence avec n = 1, on obtient u 1+1 = - 3 u 1 + 1 donc u 2 = - 3 u 1 + 1 = - 3
x2 + 1 = - 5
Puis en utilisant à nouveau la relation de récurrence avec n = 2, on obtient u 2+1 = -3u 2 + 1 donc u 3 = -3u 2 + 1 = -3
x(-5) + 1 = 16
Pour calculer u 50 , il faudra calculer de proche en proche tous les termes u 4 , u 5 , u 6 ... , u 49 , u 50 Une calculatrice ou un ordinateur peuvent alors être très utiles pour donner des valeurs approchées.
Représentation graphique
On appelle représentation graphique d'une suite (u n ) l'ensemble des points de coordonnées (n ; u n ).
(Ces points ne seront pas reliés entre eux puisque n ne prend que des valeurs entières)
Exercice 01 (voir réponses et correction) On considère la suite ( u n ) n ∈ IN définie par u n = 1
2 n - 2 .
Calculer les dix premiers termes de la suite. Représenter graphiquement cette suite. Que remarque-t-on ? Exercice 02 (voir réponses et correction)
On considère la suite (u n ) n³1 définie par u n = 1
2n - 1 . Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 . Montrer que pour tout n ³ 1 : u n+1 - u n = -2
(2n - 1)(2n + 1) . En déduire que pour tout n ³ 1 : u n+1 £ u n Exercice 03 (voir réponses et correction)
On considère la suite (v n ) n ∈IN définie par v n = 1
2 n-2 - 6 . Calculer v 0 ; v 1 ; v 2 ; v 3 ; v 4 .
En utilisant une calculatrice ou un tableur sur ordinateur, donner une valeur approchée de v 10 ; v 20 ; v 40 . Exercice 04 (voir réponses et correction)
On considère la suite ( u n ) n ∈ IN définie par u 0 = - 2 et u n+1 = 1
2 u n - 3 . Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 .
En utilisant une calculatrice ou un tableur sur ordinateur, donner une valeur approchée de u 10 ; u 20 ; u 40 .
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Exercice 05 (voir réponses et correction)
On considère la suite ( u n ) définie par u n = - 3 n + 5 pour tout n ∈ IN.
Donner l'expression en fonction de n de : u n+1 ; u n + 1 ; u n+2 ; u 2n ; u n
2; u 2n+1 Exercice 06 (voir réponses et correction)
On considère la suite ( u n ) n ∈ IN définie par u 0 = 10 et u n+1 = u n - 2 n 2 + 3n . Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5 .
Pour n ³ 1, exprimer u n en fonction de u n-1
En utilisant une calculatrice ou un tableur sur ordinateur, donner une valeur approchée de u 10 ; u 20 ; u 40 .
Définition
Soit la suite ( u n ) n³n
0.
On dit que (u n ) est croissante si : pour tout n ³ n 0 u n+1 ³ u n . On dit que ( u n ) est décroissante si : pour tout n ³ n 0 u n+1 £ u n . On dit que (u n ) est stationnaire si : pour tout n ³ n 0 u n+1 = u n .
Remarques
• On définit de la même façon une suite strictement croissante ou strictement décroissante en utilisant des inégalités strictes.
• Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone.
• Étudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si une suite est croissante ou décroissante (ou ni l'un ni l'autre).
Propriété
Soit (u n ) une suite croissante : si n ³ p , alors u n ³ u p . Soit ( u n ) une suite décroissante : si n ³ p , alors u n £ u p .
Exercice 07 (voir réponses et correction)
On considère la suite (u n ) définie pour tout n ∈ IN par u n = -2n + 7
Calculer les premiers termes de cette suite puis étudier son sens de variation.
Exercice 08 (voir réponses et correction) On considère la suite définie par u n = n - 1
n + 2 pour tout n ∈ IN. Démontrer que la suite (u n ) est croissante.
Exercice 09 (voir réponses et correction) Étudier le sens de variation des suites :
(n 2 - n) n ∈IN
3
2 n n³1
n + 1 n n³1 Exercice 10 (voir réponses et correction)
Une entreprise, propose pour recruter un nouvel employé deux types de rémunération : Type 1 : Salaire annuel de 23 000 euros avec augmentation annuelle du salaire de 500 euros.
Type 2 : Salaire annuel de 21 000 euros avec augmentation annuelle du salaire de 4%.
1°) On note u 0 le salaire annuel initial, et u n le salaire annuel après n années dans le cas de la rémunération de type 1. Donner les valeurs de u 0 , u 1 , u 2 .
2°) On note v 0 le salaire annuel initial, et v n le salaire annuel après n années dans le cas de la rémunération de type 2. Donner les valeurs de v 0 , v 1 , v 2 .
3°) Donner une expression générale de u n et v n en fonction de n. Calculer u 5 et v 5 ; u 10 et v 10 .
4°) Le nouvel employé compte rester 8 ans dans l'entreprise. Quel type de rémunération va-t-il choisir ?
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Définition
On dit qu'une suite ( u n ) n³n
0
est une suite arithmétique de raison r si : pour tout n ³ n 0 , u n+1 = u n + r . ( r étant une constante réelle)
Exemple
La suite 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ... est la suite arithmétique de 1 er terme 2 et de raison 3
Définition
On dit qu'une suite ( u n ) n³n
0
est une suite géométrique de raison q si : pour tout n ³ n 0 , u n+1 = u n
xq . ( q étant une constante réelle)
Exemple
La suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48... est la suite géométrique de 1 er terme 3 et de raison 2 Remarque
• Pour démontrer qu'une suite (u n ) n³n
0
est arithmétique, on pourra calculer la différence u n+1 - u n . Si on constate que la différence est une constante r, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison r.
• Pour démontrer qu'une suite ( u n ) n³n
0
est géométrique, on pourra calculer le quotient u n+1 u n .
Si on constate que le quotient est une constante q, on pourra affirmer que la suite est géométrique de raison q.
Exercice 11 (voir réponses et correction)
Les suites définies sur IN par u n = 3n + 5 ; v n = n + 1
n 2 + 1 ; w n = 3
x2 n sont-elles arithmétiques ? géométriques ?
Propriété
Soit (u n ) n³n
0
une suite arithmétique de raison r.
Pour tout entier n ³ n 0 et tout entier p ³ n 0 , on a u n = u p + ( n - p ) r . Soit (u n ) n³n
0