Soit un entier n > 0. On dit que l'entier k est sympathique s'il existe 2k entiers distincts strictement positifs a₁,a₂,..ak,b₁,b₂,..bk tels que les sommes a₁ + b₁, a₂ + b₂, ...ak + bk sont deux à deux
distinctes et strictement inférieures à n.
Q₁ Démontrer que si k est sympathique, alors k est inférieur ou égal à un nombre rationnel r₀ que l'on déterminera en fonction de n.
Q₂ Démontrer que lorsque r₀ est un entier, il est lui-même sympathique.
Application numérique: n = 14 puis n = 5049
Q1 : Si l’on étudie ce qui se passe pour les premières valeurs : 1+5=6, 2+3=5 : k=2, n≥7 ;
1+5=6, 2+6=8, 3+4=7 : k=3, n≥9 ;
1+7=8, 2+9=11, 3+8=10, 4+5=9 : k=4, n≥12
1+9=10, 2+7=9, 3+10=13, 4+8=12, 5+6=11 : k=5, n≥14
1+10=11, 2+8=10 , 3+13=16 , 4+11=15 , 5+9=14, 6+7=13 : k=6, n≥17
Nous pouvons donc construire les suites a et b en distinguant selon la parité de k : pour 1≤a≤p-1, b=4p-2a-1, a+b=4p-a-1 et p≤a≤2p-1, b=6p-2a-2, a+b=6p-a-2 ; pour 1≤a≤p-1, b=4p-2a , a+b=4p-a , et p≤a≤2p, b=6p-2a+1, a+b=6p-a+1.
Donc si k=2p-1, n≥5p-1 et si k=2p, n≥5p+2 ; dans les deux cas, k≤r0=(2n-3)/5.
Q2 : r0 est entier pour n=5p-1 : alors r0=2p-1 dont on a vu ci-dessus qu’il convenait.
Ainsi pour n=14, p=3 et r0=5, tandis que pour n=5049, p=1010 et r0=2019.
