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A622. Un zeste de Kaprekar
Diophante choisit deux entiers et n avec et puis il demande à Zig de trouver une partition de en entiers positifs et distincts de sorte qu’en les plaçant de manière adéquate le long de la circonférence d’un cercle il minimise la somme des produits des entiers adjacents pris deux à deux. Parallèlement, Diophante demande à Puce de faire le même exercice avec la partition de l’entier en – entiers positifs et distincts. Tous calculs faits avec leurs couples respectifs et – , Zig et Puce obtiennent la même somme minimale égale à la constante de Kaprekar 6174.
Déterminer les deux paramètres et choisis par Diophante.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
On généralise le problème à . On rappelle en outre quelques formules utiles dans la suite :
Cas particulier
Supposons tout d’abord que .
Il n’existe alors qu’une seule partition de en entiers positifs et distincts : .
Considérons une permutation de cet ensemble . Par convention, on note les indices modulo .
Appelons , la somme des produits des entiers adjacents pris deux à deux.
Pour trouver la permutation de minimale, on utilise la technique déjà employée lors du problème G234.
Considérons la permutation obtenue en « renversant » la sous-partie : On remarque que :
Supposons que p soit une permutation de « somme » minimale. On a alors et :
et (1)
On peut supposer, sans nuire à la généralité, que et que
A partir de ces inégalités initiales, en appliquant la propriété (1) plusieurs fois, on parvient à ordonner de proche en proche les termes de la permutation.
Si est impair, l’ordre ainsi établi est complet. Si est pair, il faut en outre partir de et appliquer à nouveau la propriété (1) plusieurs fois pour obtenir l’inégalité manquante entre les deux termes et .
On conclut finalement que telle que minimale est définie par :
Pour calculer l’expression de , on distingue deux cas, selon la parité de k :
Si est pair
Si est impair
D’où l’on déduit la formule générale de dans le cas
avec selon la parité de .
Cas général
On pose .
Démontrons par récurrence sur qu’une permutation de la partition de en entiers positifs et distincts qui minimise peut être définie par :
La propriété est vraie au rang , d’après le cas particulier étudié plus haut.
Supposons la propriété vraie au rang . On obtient une partition de en ajoutant 1 à un des termes d’une partition de . Les termes adjacents à celui-ci dans la permutation sont au minimum 1 et 2. La somme augmente donc au moins de 3 comparé au rang précédant. La permutation suivante exhibe l’existence de ce minimum au rang .
Ce qu’il fallait démontrer.
On en conclut finalement que :
Application numérique
On résout le système d’équations :
Les deux paramètres choisis par Diophante sont et .
