Enoncé E446 (Diophante) Les deux derniers de la liste Les entiers naturels de 0 à

Enoncé E446 (Diophante) Les deux derniers de la liste

Les entiers naturels de 0 à n sont écrits au tableau noir. Zig et Puce, chacun à son tour, effacent exactement k d’entre eux s’il en reste 2k ou 2k+ 1. La partie s’arrête quand il reste deux entiers aetb, b > aqui ont pour différence d=b−a. Par exemple pour n= 6, on a la liste des sept entiers : 0,1,2,3,4,5,6. Au premier tour, Zig efface trois d’entre eux, par exemple 2, 4 et 5. Il reste 0,1,3,6. Puce efface les deux entiers 0 et 3. La partie s’arrête avec les deux entiers b = 6 et a = 1 dont la différence est d= 5.

Le joueur qui commence la partie choisit n et son objectif est d’obtenir la valeur de d la plus élevée possible tandis que le second joueur cherche au contraire à la minimiser. On suppose que les deux joueurs jouent de manière optimale.

Q1 Zig choisitn= 2013 et commence la partie. Quelle valeur dedobtient- il ?

Q2 C’est au tour de Puce de commencer la partie. Il choisit le plus petit n qui lui permet d’obtenir une valeur de dune fois et demie plus grande que celle obtenue précédemment par Zig. Que vaut n?

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

La stratégie du joueur en second est clairement de réduire la différence entre le plus grand et le plus petit terme ; il en auramfois l’occasion sin≥ 4^m. En effaçant les nombres compris entre le nombre médian subsistant au tableau et le nombre extrême le plus éloigné, il réduira cette différence d’un facteur 2 au moins, mais il peut aussi, ayant k nombres à prendre, en prendre une partie parmi les plus grands, le reste parmi les plus petits.

Il peut donc compter sur un résultat d≤n/2^m.

Une stratégie du joueur en premier est de répartir les nombres restants de façon aussi égale que possible. L’effacement d’un nombre sur deux double, en moyenne, les écarts entre nombres restants ; si le joueur en premier ne distribue pas ces écarts de façon homogène, le joueur en second pourra cibler ses effacements du côté des grands écarts.

Question 1

La partie peut se dérouler comme suit, partant des 2014 entiers de 0 à 2013. Je donne les nombres restant écrits après le coup du joueur.

Zig : 1007 nombres pairs de 0 à 2012 ; Puce : 504 nombres pairs de 0 à 1006 ; Zig : 252 multiples de 4, de 0 à 1004 ; Puce : 126 multiples de 4, de 0 à 500 ; Zig : 63 multiples de 8, de 0 à 496 ; Puce : 32 multiples de 8, de 0 à 248 ; Zig : 16 multiples de 16, de 0 à 240 ; Puce : 8 multiples de 16, de 0 à 112 ; Zig : 4 multiples de 32, de 0 à 96 ; Puce : 0 et 32. Résultat d= 32.

Observons que Zig n’a rien perdu à ne pas conserver 2013, 1006, 500, etc.

Puce se serait arrangé au coup suivant pour obtenir la même différence entre plus grand et plus petit.

Zig comme Puce ont joué 5 fois chacun, carn= 2013 vérifie 2¹⁰≤n <2¹¹. Le nombre de coups joués est m si 2^m ≤ n <2^m+1, et si ce nombre est impair, le joueur en premier joue aussi en dernier, pour réduire à 2 une liste de 3 ou 4 nombres, ce qui lui permet de profiter de toute la différence entre plus grand et plus petit. Au contraire, si m est pair, c’est le joueur en second qui termine et divise encore la différence par 2.

Question 2

Pour obtenird= 1,5·32 = 48, Puce prend n= 768. Comme 2⁹ ≤768<

2¹⁰, Puce aura la main face aux 4 entiers que laisse Zig, qui a joué 4 fois, donnant une différence 768/2⁴= 48.

Le déroulement de la partie peut être

Puce : 385 nombres pairs de 0 à 768 ; Zig : 193 nombres pairs de 0 à 384 ; Puce : 97 multiples de 4 de 0 à 384 ; Zig : 49 multiples de 4 de 0 à 192 ; Puce : 25 multiples de 8 de 0 à 192 ; Zig : 13 multiples de 8 de 0 à 96 ; Puce : 7 multiples de 16 de 0 à 96 ; Zig : 4 multiples de 16 de 0 à 48 ; Puce : 0 et 48. Résultat 48.

Plus généralement, on peut donner la règle suivante liant le choix initial de n et le résultat final d : n s’écrit en base 4 avec un premier chiffre p suivi dec autres quelconques. Alorsd=p·2^c.

Exemples : 2013 s’écrit 133131 en base 4, p = 1, c = 5 ; 768 s’écrit 30000 en base 4,p= 3, c = 4, et le résultat 48 serait le même avec toutn entre 768 et 1023 inclus.