Chapitre 5 : Les Nombres
I – Les entiers naturels :
L'ensemble des entiers naturels {0, 1, 2, 3, ...} est noté ℕ. Pour exprimer que n est un entier naturel, on écrit n∈ℕ.
Le symbole ∈se lit « appartient à » et le symbole ∉ se lit « n'appartient pas à ».
Exemple : 45 ∈ℕ; 3,7 ∉ℕ.
Définition 1 : Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Remarque : 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
Les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53...
Théorème 1 : Si un entier naturel n n'est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs à
n, alors cet entier naturel n est premier.Exemple :
53 ≈7,28 et 53 n'est divisible par aucun des nombres premiers 2, 3, 5 et 7 donc 53 est un nombre premier.Théorème 2 : Tout entier naturel différent de 0 et de 1 est soit un nombre premier, soit le produit de nombres premiers.
Exemple : 57 qui n'est pas premier est le produit de deux nombres premiers 3 et 19.
Théorème 3 : Tout entier naturel différent de 0 et de 1, non premier, peut s'écrire sous forme de produit de nombres premiers. L'écriture d'un entier naturel sous cette forme de produit de nombres premiers s'appelle la décomposition en produit de facteurs premiers.
Exemple : Écrire la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers suivants : 114, 2100 et 462.
Application de la décomposition des entiers naturels en produit de facteurs premiers:
Cette décomposition permet de :
1. Simplifier des fractions sous forme de fractions irréductibles, 2. Transformer des écritures avec des radicaux,
3. Déterminer facilement le plus petit dénominateur commun entre deux fractions.
Exemples :
● Simplifier les fractions suivantes : 114 462;2100
75 .
● Écrire sous la forme a
b, avec b entier le plus petit possible, les nombres suivants :
2100,
2880 .● Calculer : 2
225 11 2100 .
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II – Les nombres relatifs, les nombres rationnels et les nombres décimaux :
L'ensemble des entiers relatifs {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} est notéℤ .
Définition 2 : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a b où a est un entier relatif et b un entier naturel non nul.
L'ensemble des nombres rationnels est notéℚ. Exemple : −4
5∈ℚ; −5 ∈ℚ; 3,7 ∈ℚcar3,7 =37 10 .
2 ∉ℚ (on démontrera ce résultat en exercice) Remarques : Tout entier naturel est un entier relatif.Tout entier relatif est un nombre rationnel.
On dit queℕest inclus dansℤet queℤest inclus dansℚ. Le symbole se lit « est inclus dans ».
On a donc ℕ⊂ℤ⊂ℚ. Règles de calcul avec les nombres rationnels
Propriétés 1 : Soient a, b, c et d quatre nombres entiers.
1. si b≠ 0 et d ≠ 0, alors
bd ad b
a = .
2. si c≠ 0, alors
c b a c b c
a+ = + .
3. si b≠ 0 et d ≠ 0, alors
d b
c a d c b a
×
= ×
× et si de plus c≠ 0, alors
c d b a d cb a
×
= .
Propriétés 2 : Soient a, b, c et d quatre nombres entiers.
1. b
a n’a de sens que si b≠ 0.
2.Si b≠0 , alors = 0 b
a équivaut à a= 0.
3. Si b≠ 0 et d ≠ 0, alors d
c b
a = équivaut à ad = bc (produit en croix).
Exemples :Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous la forme la plus simple possible :
A=3 5 −2
7 6
35 ; B=
3 5 −4
3 2 3 1
4
; C=7 ×12 39×13
32×8 7
Théorème 4 : Tout nombre rationnel admet une unique écriture sous la forme d'une fraction irréductible.
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Remarque : tout nombre rationnel admet un développement décimal limité ou illimité périodique.
Exemple : 1
7 = 3
8 = 175 13 =
Définition 3 :Un nombre décimal est un nombre qui possède une écriture fractionnaire de la forme a
10n où a est un entier relatif et n un entier naturel.
L'ensemble des nombres décimaux est noté Exemple : 37,81 =3781
102 ; −0,047=−47 103 .
Remarques : Tout nombre décimal est un rationnel, donc ⊂ℚ.
Tout nombre décimal admet un développement décimal limité.
Tout nombre décimal strictement positif peut s'écrire sous la forme a×10poù 1 a10 et p∈ℤ.
Cette écriture est appelée notation scientifique.
Exemples : 316,95=...;0,004637=...
III – Les nombres réels :
Une unité de longueur étant choisie, on munit une droite ( D ) d'un repère (O , I) tel que OI=1 dans l'unité choisie.
Définition 4 : A tout point M de l'axe ( D ) de repère (O, I), on associe un nombre x appelé abscisse de M et défini de la manière suivante :
x=OM lorsque M appartient à la demi-droite [OI).
x=−OM lorsque M n'appartient pas à la demi-droite [OI).
L'ensemble de ces nombres est appelé l'ensemble des nombres réels et est notéℝ. L'axe(O , I) est appelé l'axe des réels.
Exemple : Schéma de l'axe réel
L'ensemble des réels non nuls est noté ℝ*. L'ensemble des réels positifs est noté ℝ+. L'ensemble des réels négatifs est noté ℝ–.
2 ∈ℝ; −45,89 ∈ℝ; ∈ℝ. Remarque : ℕ⊂ℤ⊂⊂ℚ⊂ℝLes réels qui ne sont pas dansℚ( c'est-à-dire qui ne sont pas rationnels ) s'appellent des nombres irrationnels.
Exemple :
2 et sont des irrationnels. Ces nombres irrationnels ont un développement décimal illimité non périodique.Lycée Dessaignes Page 3 sur 3
