Enoncé A485 (Diophante) L’éclairage du tableau
Deux spots S1 et S2 assimilés à deux points sont installés au sol et au plafond d’une salle de musée dans le plan médiateur d’un tableau afin de l’éclairer au mieux. Pour ce faire, chaque spot éclaire le haut et le bas du tableau sous le plus grand angle possible. Leurs positions sont alors déterminées par deux triangles rectangles S1H1T1 et S2H2T2 (voir figure ci-dessus) dont les dimensions des côtés toutes distinctes entre elles s’expriment en nombres entiers de centimètres. La hauteurT1T2du tableau inférieure à 150 cm s’exprime également en nombre entier de centimètres.
Sachant que le spot le plus éloigné du tableau est au sol,déterminer la hauteur H1H2 de la salle et la position du tableau sur le mur.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soita=H1T1,h=T1T2,b=S1H1. Le tableau est vu de S1 sous l’angle arctana+h
b −arctana
b = arctan bh b2+a(a+h).
La distanceb qui maximise cet angle minimise b+a(a+h)/b, d’où b2 = a(a+h).
La distanceS1T1 a pour carré a2+b2=a(2a+h).
Soitd=P GCD(a, h) =P GCD(a, a+h). Pour que a(a+h) soit carré, il fauta=dv2,h =d(u2−v2), b=duv, avec u et v entiers premiers entre eux. Comme de plusa(2a+h) =d2v2(u2+v2) est carré, u2+v2 aussi,u etv sont les côtés d’un triangle pythagoricien.
On sait qu’alors il existe des entierspetq, premiers entre eux et de parité contraire,u etv étant l’unp2−q2 et l’autre 2pq.
Ainsih=d|(p2−q2)2−4p2q2|.
Les trianglesS1H1T1 et S2H2T2 étant différents, la même hauteurh doit être obtenue avec plusieurs triplets (p, q, d).
On constate quep >3 donne|(p2−q2)2−4p2q2|>150. Avecp= 3, q= 2 h/d= 119 d’où d= 1. Avec p = 2, q = 1 h/d = 7, donc on peut obtenir h= 119 avec les deux triplets (2,1,17) et (3,2,1).
Les couples (a, b) correspondants sont (153,204) et (25,60).
AinsiS1H1= 204, H1T1 = 153, T1T2 = 119, T2H2 = 25,H2S2 = 60.
Hauteur de la salleH1H2= 153 + 119 + 25 = 297.
Non seulemùent S1T1 = 255 et S2T2 = 65 sont des nombres entiers de centimètres, comme requis par l’énoncé, mais aussiS1T2= 340 et S2T1 = 156.
