A485. L'éclairage du tableau
Deux spots S et S assimilés à deux points sont installés au sol et au plafond d’une salle de musée dans le₁ ₂ plan médiateur d’un tableau afin de l’éclairer au mieux. Pour ce faire, chaque spot éclaire le haut et le bas du tableau sous le plus grand angle possible. Leurs positions sont alors déterminées par deux triangles rectangles S H T et S H T (voir figure ci-dessus) dont les dimensions des côtés toutes distinctes entre₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ elles s’expriment en nombres entiers de centimètres.
La hauteur T T du tableau inférieure à 150 cm s’exprime également en nombre entier de centimètres.₁ ₂ Sachant que le spot le plus éloigné du tableau est au sol,déterminer la hauteur H H de la salle et la₁ ₂ position du tableau sur le mur.
Solution proposée par Gaston Parrour
Notations : la hauteur du tableau T1T2 = 2d D1 éloignement du spot S1 au sol D2 éloignement du spot S2 au plafond
La position du tableau est repérée par le milieu M de T1T2 dans le plan médiateur : h1 distance de M au sol
h2 distance de M au plafond
H = h1+h2 est la hauteur totale de la salle H1H2
h2
h1 D2
D1 O1 O2
M Axe médian
horizontal d
d
Remarque
:
Le plus grand angle sous lequel on éclaire le tableau depuis le sol appartient à l'arc capable du segment T1T juste tangent au sol : S1 est au point de contact .Le centre correspondant O1 est indiqué sur la figure (sur la trace du plan médian horizontal) Il est sur la verticale issue de S1.
De même le plus grand angle sous lequel on éclaire le tableau depuis le plafond appartient à l'arc capable de T1T2 juste tangent au plafond : S2 est au point de contact .
Le centre O2 est indiqué également, il est sur la verticale issue de S2.
Par conséquent h1 est le rayon du cercle de centre O1 et dans le triangle O1MT1 : D12 + d2 = h12 (a) De même dans le triangle O2MT2 :
D22 + d2 = h22 (b)
N.B. La hauteur 2d du tableau est un entier inférieur à 150 : a priori d est entier ou demi-entier inférieur à 75. Dans ce qui suit on supposera d entier ( voir Note pour 2d impair à la fin)
==>
Dans ces équations entre entiers, on impose D1 > D2 et donc h1 > h2 et de plus d entier < 75
Les égalités (a) et (b) sont des solutions de l'équation diophantienne
D2 + d2 = h2 (1) Ces deux solutions distinctes partagent la même valeur de d
On cherche donc dans ce sens, des solutions entières de (1) sachant que d < 75 Deux cas possibles pour la forme des solutions de (1) ( P.G.C.D. (d,D) = 1) : CAS 1 : d = 2ab D = a2-b2 h = a2+b2
CAS 2 : D = 2ab d = a2-b2 =(a+b)(a-b) h = a2+b2
(dans les deux cas, a et b vérifient P.G.C.D. (a,b) = 1 et a>b>0 ) Partant de d < 75 et par valeurs décroissantes de d entier :
on peut pour chacun de ces deux CAS, procéder à la décomposition de d en facteurs de façon à déterminer a et b. Cela avec la contrainte (a,b) = 1
Vérifier qu'à une valeur de d sont associées au moins deux solutions distinctes en D et h.
De plus ces solutions doivent être « réalistes » dans cette situation concrète ! CAS 1 d = 2ab
On examine les nombres pairs inférieurs à 75, c'est-à-dire ab < 38 et avec au moins deux factorisations possibles en a et b et avec (a,b) = 1
Un tableau systématique de la décomposition de ab montre alors que la seule valeur de ab qui fournit plus qu'un jeu de valeurs acceptables pour a et b avec les contraintes données est : ab = 30 a = 15 b = 2 D = 221 h = 229
(d= 60) a = 10 b = 3 D = 91 h = 109 a = 6 b = 5 D = 11 h = 61
N.B. Toutes les autres valeurs de ab fournissent soit (a,b) > 1, soit pas plus d'une solution
« réaliste »
Discussion des solutions trouvées au CAS 1 avec d=60 : Au vu de cela, on peut choisir :
1/ D2 = 11 avec h2 = 61
Alors soit D1 = 91 avec h1 = 109 et donc H = h1+h2 = 170 cm
donc un tableau dont le bord supérieur est à 1cm du plafond et une salle de 1,70 m de hauteur !!
soit D1 = 221 avec h1 = 229 et donc H = h1+h2 = 290 cm hauteur acceptable mais tableau à 1 cm du plafond !!
2/ D2 = 91 avec h2 = 109
Alors D1 = 221 avec h1 = 229 et donc H = 338 cm
Et dans ce cas le haut du tableau est à h2-d = 49 cm du plafond Cette solution acceptable conduit à :
Hauteur de la salle : H1H2 = H = 3,38 m
Position du tableau sur le mur : le haut du tableau est à 49 cm du plafond, la hauteur du tableau est T1T2 = 2d = 1,20 m et le bas du tableau est à 1,69 m du sol
Dans ce cas alors le spot au plafond est éloigné du tableau de 91 cm et le spot au sol de 221 cm
CAS 2 D = 2ab et d = (a+b)(a-b) avec (D,d) = 1 , d impair
Sachant que d < 75, ici on examine la décomposition en deux facteurs des impairs décroissants à partir de 73. De chaque paire de facteurs trouvés, on en déduit a et b
correspondants.
Il n'apparaît aucune décomposition multiple « acceptable » Ainsi
pour d = 45 a = 23 b = 21 D = 2ab = 1012 cm !! h = a2+b2 = 970 cm !!
a = 9 b = 6 (a,b) > 1
a = 7 b = 2 D = 28 cm h = 53 cm
==> la seule paire de solutions (D1,h1) et (D2,h2) n'est clairement pas acceptable.
pour d = 21 a = 11 b = 10 D = 220 cm h = 221 cm a = 5 b = 2 D = 20 cm h = 29 cm ==> cette solution est seulement « tout juste acceptable » :
En effet
Avec D1 = 220cm et h1 = 221 cm D2 = 20 cm et h2 = 29 cm
H1H2 = 2,50 m , cela pourrait convenir …
MAIS, ce tableau de 42 cm de haut a son bord supérieur à h2 – d = 8 cm du plafond !!
son bord inférieur à h1 – d = 2 m du sol
Il est peu vraisemblable d'accrocher presque au plafond un tableau de taille relativement modeste !!
Enfin les autres décompositions multiples, pour d impair < 21 , par exemple d = 15 , ne donnent d'emblée aucune valeur raisonnable de la hauteur H1H2 de la pièce.
Note pour une hauteur de tableau (T1T2) 2d entier impair inférieur à 150
Dans ce cas pour éviter les nombres demi-entiers, on peut rechercher les solutions de 4D2 + 4d2 = 4h2 (2)
Avec ici 2d impair , on pose 2d = a2-b2=(a+b)(a-b) 2D = 2ab et 2h = a2+b2
où a et b sont premiers entre eux (a,b) = 1 et aussi (2D,2d) =1
Sachant que 2d < 150 on considère la décomposition des entiers impairs inférieurs à 150 Cela fournit des « candidats » a et b
On peut procéder de la même façon que précédemment en filtrant ces solutions possibles avec les contraintes imposées.
En particulier pour une valeur de 2d, on veut a priori au moins deux solutions distinctes (D1,h1) et (D2,h2)
Ce dernier critère permet d'éliminer rapidement la plupart des valeurs impaires de 2d inférieures à 150.
Pour celles qui subsistent : 147, 135, 117, … : le plus souvent (a,b) > 1 réduit ce nombre de solutions « a priori » à moins que 2 , pour ces valeurs de 2d restantes
Enfin un cas comme 2d = 105 donne
a = 19 b = 16 2h = a2+b2 => h = 308,5 D = ab = 304 a = 13 b = 8 h = 116,5 = 104 a = 11 b = 4 h = 68,5 = 44
Alors les valeurs possibles pour H1H2 = h1+h2 sont 185 ou 377 ou 425
Les deux valeurs extrêmes ne sont pas acceptables et la valeur médiane relativement élevée, implique de plus que le haut du tableau soit à h2-d = 68,5 – 52,5 = 16 cm du plafond d'une salle de 3,77 m de haut et le bas du tableau à 2,56 m du sol !
Ces valeurs peu réalistes incitent à préférer la solution mentionnée ci-dessus ===> La SOLUTION la plus ACCEPTABLE est donc celle retenue au CAS 1 ci-dessus : Hauteur de la salle de musée H1H2 = 3,38 m ,
Tableau de hauteur T1T2 = 1,20m et dont le bas est situé à 1,69m du sol Le spot S1 au sol est à 2,21 m du mur
Le spot S2 au plafond est à 0,91 m du mur
