A485 L'éclairage du tableau.
Deux spots S et S assimilés à deux points sont installés au sol et au plafond d’une salle de₁ ₂ musée dans le plan médiateur d’un tableau afin de l’éclairer au mieux. Pour ce faire, chaque spot éclaire le haut et le bas du tableau sous le plus grand angle possible. Leurs positions sont alors déterminées par deux triangles rectangles S H T et S H T (voir figure ci-dessus) dont₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ les dimensions des côtés toutes distinctes entre elles s’expriment en nombres entiers de centimètres.
La hauteur T T du tableau inférieure à 150 cm s’exprime également en nombre entier de₁ ₂ centimètres. Sachant que le spot le plus éloigné du tableau est au sol,déterminer la hauteur H H de la salle et la position du tableau sur le mur.₁ ₂
Notations : je pose H1T1 = a, T1T2 =b, T2H2=c, S1H1=x, S2H2=y.
Angle α1 = arctan (a+b)/x - arctan a/x = arctan bx x²aab La dérivée de bx
x²aab est du signe de b.[x² + a(a+b)] – 2bx² ou du signe de a.(a+b) – x².
α1 est maximum si a.(a+b) = x².
Pour α2 les résultats sont analogues, α2 est maximum si c.(c+b) = y².
Le problème consiste à trouver deux triplets pythagoriciens (a,x,m) et (c,y,n) conduisant à la même valeur entière de b = x²/a - a = y²/c – c , avec aussi la restriction b < 150.
Nous partons des triplets les plus simples (3,4,5) et (5,12,13).
(3,4,5) donne b = 4²/3 – 3 = 7/3 . Multiplions par 3 pour avoir b entier : (9,12,15) donne b = 7.
(5,12,13) donne b = 12²/5 – 5 = 23,8. Multiplions par 5 pour b entier: (25,60,65) donne b = 119.
Observons que 119 = 17 fois 7, multiplions le triplet (9,12,15) par 17 , (153,204,255) donne b = 119 Les résultats sont : H1T1 = 153, T1T2 =119, T2H2=25, S1H1=204, S2H2=60, S1T1=255, S2T2=65 La hauteur de la salle est : 153 + 119 + 25 = 297 cm.
