Barycentre de deux points

MINESI.C

DEPAIITIMENT DE MATHIMATIQUD GROUl'EIAPENSEEIETA

ANNff SCOlAIRE JOlt/ZOZO FIOIE SUR LfS IAIIYŒNTRD ET LIGNES OE NMAUX

EXAMINATIUR: NIUUDIOI RENE NlllfAU: Prtnllèe D&C

1. Introduction

et

Barycentre de deux points

Eurdn 1.

On

,,.,.,_ .ïdëff ^ua

h'ÎAl1Jlc ABC. On appc:llc I lc

milieu

de [BCJ.

Dcmootrw que 2 AÏ =

AB + AC .

A cl B ,0111 deux poi111, di.ri11c1,.

N

c,t lc point clifini par

b

relation

i)

Dbuo111rcr que le, \'CCINn

AB

^cl

AN

^\OUI colnliairc,.

2) Placa-le: point N ,ur une 6aurc.

J

)

Exprimer N

comme INJ),:,c,11rc de\ poûu, A ci B.

ü•rdtt J. / "

ABCD C\t w,

paralltlol!f&IWDC

de centre O.

La

poinb M cl N

'4!11

^{•d~ t>c"I-}

JAM - 2 AB

~

0

^{(1) Cl}

ëo . Jœ-7 i -..t.!) .

1) Exprimer

AM

^co

^fooc1

^{ion de}

AB

co utili.anl (1). pJa.,cr M

1) Trou,-a- le,

- ml,

^{a, Cl}

Il

^{po ..}

-

qu., M \OÎI bAl),:cntrc

^,,. ;j:_ùdpouclérë,

^{(A. a) cl (B. Il)}

J) Exprimer CN en

fonction de

CD en

utili""1t

(!), Placer

4) Trou,-a- le, réel, ^{11 • Cl}

Il ·

pour que N ^\OIi boaryccmre.dd po,iu,

pondém

(C. a ') cl (D. Il "),

$) Ju,1i6cr que le qw,,drib1èrc NCMA cs1 no ~ o~ • c1 que O est le oulicu de (Mi--1.

Euttk•

-4.

8 al le

milieu

ck (AC). {

Oémonircr que

le

baryccnltc

de (A. 1) 1è-s,

~ on& a,u

celui

de

(B. l) (C. 2).

&Rn-kr5.

Une balaocc co.1 coo,riruéc d'une ma•~ Met d'un plateau fixé i

I' cxuunùi

d"nnc

lige.

Pour pc,,c.-une mauc 111, le ,-mdcur pt..cc.

( iwc

pc>},ltion pttcisc. un crochet 'IUl'

la ri~

Ccnc balance a l⁰a\'llnta~. pour

le

CODllllCfÇIIII.

de ne p;y ~ il.,..- pf u,ic:un masse, .

1)

Pour

chacun~ cas mÎ\"1111«.

ou faut-il

fixer

le

crocbc1

û wr le

scgmcol

[AB)

pour

ruliscr

!"équilibre?

(M • ! iÏ)

A

B

M M

- ^,_

l) Le point

O

c.t tel que AG • .:. AB. Quelle Hl

la

014\\C III

pesée

7 (Doon«\ : M • 2 kJ)

3

MINESlC

DEPAltTEMEHT DE MATHEMATIQUES GROUPE LA l'ENSIE IETA

ANNEE SCOLAIRE :Z019/20ZO FIOIE SUR US IARYŒNTIIES ET LIGNES DE NIVEAUX

NIVEAU ; ,, ...

oac

IXAMINATtUR : NICALDJ08 IIOIE

Eunitt6.

Soit ABC un trumpc i.ocë_lc en A Ici q11e 8C • S au <1 BA • S cm. Son l lc milieu de f8(1

1) l'lll<cr le pollll F ici que

Ïif • - BA

ct mocllta que F ni le

bar),:_,.

dn poinh A cl B poodcri, pu dn mh que l'on cltkmùt,m,,

l) P ctanl un pou,! du plan. ttduitt (en j u ~) cboamc dn

-un«

\Ul,,uun :

.!..,i • .!..,ë

2 Z

· PA • 2PB

- -

2PB 2PA

J) O.tcmmaa C1 •·~ 1'm..,.1blc dn poinh M du plan ,·érifwi1:

riMB · f ^{M cj • 1 - MA • 2 Miij}

4} C1 rcpt"N:ntCT 1·cn\Cmblc de, J,01111\ N du pl•n ,,a,ifi•nt .

I NB - Nël ^{· ~ NB - ?NAI ,}

Il. Baryœntre de trois points

et

plus 0

EnN"k• 7.

u .... ,,..

^ci,.

1r•• · tt•

^{C'o.• -}LsoNryttattt. ' - -

ABC

nt

1111

lri1111iJc.

A· c,1 le aùlicu de

(BC).

On se proposc\ic démooù cr la

proprictc :

• 0 n i le ^C<nlrc de

11J11•i1i!

du

uiaoiJc

ABC •

<qUÏ\1tU j ~ •

08 •

OC • 0 "·

1) Quelle épiné ,~ori~ ^Clllrc OA c1

~

^{CA('llctéhoc} le •~ de p1wi1c O 1 l) 1) Prou,·a que OB+ OC : 2 OA'.

b) En décluirc la proprié1é éuoocêc au débul

~ t"• ~

3) 1) Quelle înwprétatioa ccnc propriété pcu1-on

ëlonn V m

ph)'\iquc, b) Tnduire l'tplité

GA •

^{GB ~OC~}

0

^{cll lcnùè} ~ bar)'<:ffllR

E:uN"k• S.

Soir ABCD 1111 cam! cl K le b•~ JK?~poina

poodém

(A. l). (B. - 1 ). (C. Z) et (O. 1 ).

On note l lc barycentre des

potnL•pkXJë.

^{(A. l). (B. - 1) cl J celui de (C. l) cl (0. 1).}

1) Placer I ct J en

ju,1ifiaD1.

- - - -

1) Réduire l'écrilUrc d~ CICIU).SUl\'an1' : 2 KA - KB cl 2 KC + KO . En déduire que K c,,1tch~ c11J dc (l l) ^cl (J. 3),

3) Pliiccr Ken

j tl\ti"-tt.,,

EsoN'ltt'

On comid" ua

O'IIIW<

ABC ^cl l'oo c!Hipc pat O le bll)untrc de (A. 1). (B. 4) et (C. - J).

l~Ço~e'.lc ~ cot~I

~

(B. 4) et (C. - 3).

l~ '"""-4"" OA • 01 • o. E n ~ la po.îtion de O ,11r (Al).

lümlNteilf:' Nkaléljab MM

frii'lil•ur ]rii....,_ de matMmtitlqua

MINESEC

DEPAIITEMENT DE MATHEMATIQUES GROUPE 1A PENSU IETA

ANNU SC0IAltE JDU/1020 FICME SUII US IAIIYŒNTltES ET UGNES DE NIVEAUX

EXAMINAltUII : NKALD.101 IIENE NIVEAU :

,,_lin

^DAC

ü.1cckw 10.

ABC n t un ll'ÎaDJIC· On note O le bu),:alltt clc (A. l ). (B. 1) tl (C. 1). Le but de l'exercice c\l clc dètcnnincr la l""ÎÛOU préciw: du point 0 .

1)

Son

I lc aùlicu de [BC). Oimoolrcr que

êii • oc • ^{z ëii .}

2) Eo

c!Uuitcc

que O ... t le barynnlR clc A et I muni, clc codlicia,1, que l'ou pticiwn. J) Cooclurc.

Eurrico Il.

1) Placer dan, un rq,ère ln poùd, A (1. l). 8 (- J. 4) cl C' (-l, 5).

Soit G le boryttnlR clc. potDI\ 1>uuda~, (A.)). (8. 2) 11 (C. - 4) 2) Quctt ... '4111 ln c ~ de O 7 Placc, O.

J)

u

^droite (130) pa,sc t-cUc p• 1·onpnc du 1cpcIe 7 Ju,ufacr.

Eurck• Il.

ABC c.1 un

ttw1p.

^{Sou O le bar)}-.:culre de (A. 1). (8. )) Cf (C. - J), Dêmontttr que les droites ( AO) Cf (BC') ,,,.., pa,.Jlt.lcs

Ex,rcln U.

0 •

ABC csI m trùo,lc. On cou,idèrc le bar)-.:CDIR A• de (8. 2)

ot ").C..., ~ -

^{leJ>à,}-.:cttlR 8'} de (A. S) et (C, - )) ""'" que le bar)untrc C' Je (A. 5) <I (8, l).

Démontrer que ln dioitc, (AA '), (88') et (CC-)""'-~ ~•,

lndiutiœ : ^on pou,n coo,idm:r le bar)-.:cntrc G de (A.'$).•(B~l.WC. - J).

~

....

ABC n t UD trùo,)c

clc

C<DIR

clc

f"'itl 0 On dé6Dit les poùu, P. Q. R. S. U. V par

AP • .!.Aii. A Q-2-Aii . ii ! ~ -l ):ë .

J J

i ., -

_{BU• -}

• -

_IIC.

-

_{BV •}

_.:. .. _ _ec

J J

•

H , 0.-~ • ")uc..J! •"

le buy<cnlR de (A. 2) C1 (B. 1) et que V a l buy<cnlR de (C, 2) C1 (B. 1)

!jl !u'\

4"<

G <" le

ruilicu

de

IPVJ.

...!_J

~ dtrnor lff. de mëmc. que G n i le milieu clc [RU) et de (SQJ (mulÎle de r<lain le, calc:ul,).

Dcorqatrcr que RPW «t un panllél01l"'llllll<,

Enmh111t-

:

Nliilcljob Mnf

MINESK

DO'AIITEMENT DE MA'"EMAllQIJIES GIIOUPE 1A l'fHSEE lfTA

ANNEE SCOLAIRE ZOlt/JlllO FIOIE SUII W IAIIYŒNTIIES ET UGNES!DE NIVEAUX

ElCAMINATIUR: NICALDJDI RENE NIVEAU :

,,.,.,i.e

^DAC

Eurricr l!I. - ^-

Soil ABC un

triana)e et

O un

poinl vc!riti.anr:

AB-◄OA - 20B-30C =

O .

Le

poinl

O

e•t-il baryccnlre

des

points pondém

(A. S).

( B.

1)

et

(C.

J) ? Justifier.

Eurelcr

16.

ABCD

est un carré.

1 ) Qud ~t l"mscmblc E

dei

points M du plan reis que l 2 MA - MB + ~ ^AB

2) Rcpn!.aitu cet

cwcmble E.

[.urritt 17.

ASCO .. , w, qu., .. , ... <1 0 ... 1, b"')'CffllR dt (A. 1). (B. Il (C. J) (O. 3).

Caa""Wc le point O e1 apliquu \"'Ofrc c011\.lnK1Îon.

wr<lr,tl. '

•

Dan, le

IIÙllp

ABC. E ni 1, mill<11 dc (AB) e1 O nt k bal')~ ),,.) fil. • J). (C. 1 $).

Dcmontra que G, C. et E \0011l1paé,

[.u ...

ASCO"' un qu.,dnl1,crc. Ou""" 0 - i,obol')'C'CO. ,>,i., Î,.~«• cu1ti« eu de p«<ilff la

i-itJOo

du pom1 O. ,._\_,

l)Ou-• l lc ,ual,n1 ,le (ACI <1 J le milieu

J<lllQI ^{0c- ,,e1}

^que

^o.-,

^le bu)'Ccutredc I c1

J"""'"

de codfic,a1h que l"oiu pt'«tMfl.

1) C'ooc:lurc: et f11rc UIM IÎJUIC- ◄

.•) S1 ABCO nt un porllkio,...111111<. "'" ' -la

l1!!""r"

,h,-,.1t11 0

wrri« lO.

j

^.;1

Ali( ni le lrUaplc do,,a; ,i-d«""-,.V c;Toowlu:,1 dt (BCJ

1) Pl.o<a. m1u,11(W11. lc bar)'CffllfC U ~ 4) et (C. 1) Ptu, pl - , le bory'Ocain ~ .IA. 4) f!..(B. 1).

J) SoitO le bol)"<cutn:

~ f~~ ~ T ••

^{(C. Il. Mouom} qu• Oe,1 lc bOr)-dt(E. !) t1 (C. 1).

3) Oé1U011trcr que Je,

~ tJ

^{(A ,1 e1 fB}U) ""'" conc0<no1n

..

•

ium1iiiiiiir , N liililJoli 11e/i4

MINESlC

OEPARTIMtNT DE MATHEMATIQUES GROUPE 1A PENSU IETA

ANNEE SCOUURE :Z019/210ZO ROIE SUR W IARYŒNTRES ET UGNES DE NIVEAUX

ECAMINATtUII : NICALDJOB llfNE NIVEAU ; ... ,. o&c

Eurdtt U.

AIICDcvua~l.uê,e,

0 •" le.-.. oit 11P'11i <ki lnlUtpc ABC 1 et J . -ln miliau ~ de {Ali) et (&el Lni k bar')_,,. de (A.1) ct(O, J)

K •" le

b.r)•-•

^{de (C. 1) e1 (D, J)}

Le but dt t •

a.cm«

^{til de ,.. a.xa s} qnc le, droltn (1K). (JL) cl (00) . -

<""

^ci.,

•

Pout cci.. on utiJ,,. k barycma-c H de (A. 1), (B. 1). (C. 1) et (O. J)

l) Plac:a mJmtifi•U. ln poual\ Let K.

!) D<moutmqU< H n1 k bar')"<e11.-cde Oct D_,de cocm..-,cpac l'oopr~

J) Diwc,c111cr que H nt k ...,....,IH de l et L cmau, de <Odfiamt, qio, l"œ prici'"'1.

.a) Dcmontrcrquc H ni Le bu)untrcdr f cl K muna,dc cocfficl«d,quc 1·00 prtt.-.cra_

5)Coachn.

•

lni4nleur rn;;;

^de~