A485 – L’éclairage du tableau
Deux spots S₁ et S₂ assimilés à deux points sont installés au sol et au plafond d’une salle de musée dans le plan médiateur d’un tableau afin de l’éclairer au mieux. Pour ce faire, chaque spot éclaire le haut et le bas du tableau sous le plus grand angle possible.
Leurs positions sont alors déterminées par deux triangles rectangles S₁H₁T₁ et S₂H₂T₂ (voir figure ci-dessus) dont les dimensions des côtés toutes distinctes entre elles s’expriment en nombres entiers de centimètres. La hauteur T₁T₂ du tableau inférieure à 150 cm s’exprime également en nombre entier de centimètres .Sachant que le spot le plus éloigné du tableau est au sol, déterminer la hauteur H₁H₂ de la salle et la position du tableau sur le mur.
Notons :
T1T2 = t et (pour i = 1, 2) :
SiHi = xi HiTi = yi SiTi = zi
Jusqu'à indication contraire, nous sous-entendons l'indice i car le raisonnement est le même pour i = 1 et 2.
L'angle est déterminé par sa tangente comme suit : tan = [(y+t) / x – y/x] / [1 + y(y+t)/x²]
Pour y et t donnés, cette tangente est maximale quand la dérivée en x s'annule, soit – calculs faits – pour :
x² = y(y+t) Cela implique que :
(x² – y²) / y = t
soit un entier.
Mais par ailleurs x et y sont les côtés de l'angle droit d'un triangle pythagoricien.
Il nous faut donc trouver deux couples pythagoriciens (x, y) qui donnent le même t < 150.
Il n'y a qu'une solution :
x y z t
204 153 255 119 60 25 65 119 Comme 204 > 60, c'est x1 = S1H1
Donc :
H1T1 = y1 = 153 H2T2 = y2 = 25
Le bas du tableau est à 153 cm du sol, le haut à 272 cm et la hauteur de la salle est de 297 cm.
