A485. L'éclairage du tableau
Deux spots S₁ et S₂ assimilés à deux points sont installés au sol et au plafond d’une salle de musée dans le plan médiateur d’un tableau afin de l’éclairer au mieux. Pour ce faire, chaque spot éclaire le haut et le bas du tableau sous le plus grand angle possible. Leurs positions sont alors déterminées par deux triangles rectangles S₁ H₁ T₁ et S₂ H₂ T₂ (voir figure ci-dessus) dont les dimensions des côtés toutes distinctes entre elles s’expriment en nombres entiers de centimètres.
La hauteur T₁ T₂ du tableau inférieure à 150 cm s’exprime également en nombre entier de centimètres. Sachant que le spot le plus éloigné du tableau est au sol, déterminer la hauteur H₁ H₂ de la salle et la position du tableau sur le mur.
Solution proposée par Paul Voyer
Soient z = H1T1, h=H1H2, t la hauteur du tableau ≤ 150 cm.
T2 a pour ordonnée z+t.
Pour que les angle α1 et α2 soient maximaux :
- Le cercle S1T1T2 est tangent au plancher en S1, son centre est sur la médiatrice de T1T2.
- Le cercle S2T1T2 est tangent au plafond en S2, son centre est aussi sur la médiatrice de T1T2.
On a donc :
x1²=z(z+t) et x2²=(h-z)(h-z+t)
x1 et x2 entiers se trouvent dans une même table fonction de z (ou de h-z).
Les hypoténuses étant de longueur entière, on a de surcroît 2z²+zt et 2z²+3zt+t² carrés.
On recherche dans un tableur les valeurs de z et t qui respectent ces conditions.
On trouve :
les triangles homothétiques de t=7, z=9, x=14, hypoténuse1=15, hypoténuse2=20 et le triangle z=25, t=119, x=60, hyp1=65, hyp2=156
et le triangle z=153, t=119, x=204 hyp1=255, hyp2=340
Comme t doit être commun à deux triangles de dimensions différentes, la solution unique résulte de ces deux derniers résultats :
t=119, x1=204, x2=60, z=153, h-z-t=25, h=153+119+25=297 cm H1H2=297 cm
H1T1=153 cm
