E 677. Une issue certaine. ***
Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour, on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction . Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un même entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant.
Solution proposée par Abdelali Derias
Posons:pgcd(b,a) = rn et a < b b = ad + r1,
a=d1r 1+ r2, ...
rn-1 =dn.rn (algorithme d'Euclide) Ce qui donne:
(b,a) (b,ab/(b-a) (b,ab/(b-2a)) ...
(b,ab/r) (ab/r,ab/(a-r)) (abr,ab/(a-2r)) (ab/r1,ab/(r-r1)) (ab/r,ab/(r-2r₁)) ...
(ab/rn-1 ,ab/rn)=(c/m,c) (c=ab/rn et m=dn)
(c,c/m)--(c,c/(m-1))---(c,c/2)--(c,c) Application numérique
(2044,2016)--(2044,2044*2016/28)--(2044*2016/28,2044*2016/(2016-28)=(c,c/71) c=2044*2016/28 (c,c/71)--(c,c/70)---(c,c/2)--(c,c)
on a 72 etapes