E208 – Je te tiens, tu me tiens [** à la main]
On considère deux suites d’entiers naturels positifs constituées l’une et l’autre de n termes: S1 de terme général uk et S₂ de terme général vkdéfinies de la manière suivante :
- S₁ est une suite d'entiers naturels consécutifs. Pour tout entier k ≥ 1, uk désigne le nombre de chiffres de vk.
- Pour tout entier k ≥ 1, le terme général vk de S₂ est égal à la somme des puissances d’ordre k de tous les termes de la suite S1. Q₁ Démontrer que les deux suites S₁ et S₂ ont toujours un nombre fini de termes.
Q₂ Déterminer le nombre maximum de termes de S₁ et de S₂ et donner la suite correspondante S dont le plus grand terme est le plus grand 2 possible.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁
1er cas : u₁ = 1.
Si u₁ = 1, S₁ est de la forme 1,2,...et v₁ a un seul chiffre soit v₁ < 10, ce qui entraine S₁ = {1} ou bien S₁ = {1,2} ou bien S₁ = {1,2,3}.
Si S₁ = {1} alors S₂ = {1} est une solution possible
Si S₁ = {1,2} alors v₁= 1 + 2 = 3 et v₂ = 1² + 2 ²= , entier à un seul chiffre. Contradiction avec u₂ = 2.
Si S₁ = {1,2,3}., alors v₁= 1 + 2 + 3 = 6, v₂ = 1² + 2² + 3² = 14, v³ = 1³ + 2³ + 3³ = 36, entier à deux chiffres . Contradiction avec u₃ = 3.
2ème cas : u₁ = 2
On peut aller jusqu'à k = 10 avec S₁ = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
Les termes correspondants de S₂ sont :
v₁ = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 65 (2 chiffres)
v₂ = 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² = 505 (3 chiffres) v₃ = 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³ + 11³ = 4 355 (4 chiffres) v₄ = 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + 5⁴ + 6⁴ + 7⁴ + 8⁴ + 9⁴ + 10⁴ + 11⁴ = 39 973 (5 chiffres) v₅ = 2⁵ + 3⁵ + 4⁵ + 5⁵ + 6⁵ + 7⁵ + 8⁵ + 9⁵ + 10⁵ + 11⁵ = 381 875 (6 chiffres) v₆ = 2⁶ + 3⁶ + 4⁶ + 5⁶ + 6⁶ + 7⁶ + 8⁶ + 9⁶ + 10⁶ + 11⁶ = 3 719 965 (7 chiffres) v₇ = 2⁷ + 3⁷ + 4⁷ + 5⁷ + 6⁷ + 7⁷ + 8⁷ + 9⁷ + 10⁷ + 11⁷ = 37 567 595 (8 chiffres) v₈ = 2⁸ + 3⁸ + 4⁸ + 5⁸ + 6⁸ + 7⁸ + 8⁸ + 9⁸ + 10⁸ + 11⁸ = 382 090 213 (9 chiffres) v₉ = 2⁹ + 3⁹ + 4⁹ + 5⁹ + 6⁹ + 7⁹ + 8⁹ + 9⁹ + 10⁹ + 11⁹ = 3 932 252 675 (10 chiffres)
v₁₀ = 2¹⁰ + 3¹⁰ + 4¹⁰ + 5¹⁰ + 6¹⁰ + 7¹⁰ + 8¹⁰ + 9¹⁰ + 10¹⁰ +11¹⁰ = 40 851 766 525 (11 chiffres)
Si on introduit 12 comme onzième terme dans S₁, v₉ = 9 092 033 027 a 10 chiffres mais il y a une rupture avec v₁₀ = 102 769 130 749 qui a 12 chiffres et non 11.
3ème cas: u₁ = 3
On peut aller jusqu'à k = 12 avec S₁ = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
Les termes correspondants de S₂ sont :
v₁ = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 102 (3 chiffres)
v₂ = 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12² + 13² + 14² = 1 010 (4 chiffres) v₃ = 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³ + 11³ + 12³ + 13³ + 14³ = 11 016 (5 chiffres) v₄ = 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + 5⁴ + 6⁴ + 7⁴ + 8⁴ + 9⁴ + 10⁴ + 11⁴ + 12⁴ + 13⁴ + 14⁴ = 127 670 (6 chiffres) v₅ = 2⁵ + 3⁵ + 4⁵ + 5⁵ + 6⁵ + 7⁵ + 8⁵ + 9⁵ + 10⁵ + 11⁵ + 12⁵ + 13⁵ + 14⁵ = 1 539 792 (7 chiffres) v₆ = 2⁶ + 3⁶ + 4⁶ + 5⁶ + 6⁶ + 7⁶ + 8⁶ + 9⁶ + 10⁶ + 11⁶ + 12⁶ + 13⁶ + 14⁶ = 19 092 230 (8 chiffres) v₇ = 2⁷ + 3⁷ + 4⁷ + 5⁷ + 6⁷ + 7⁷ + 8⁷ + 9⁷ + 10⁷ + 11⁷ + 12⁷ + 13⁷ + 14⁷ = 241 561 296 (9 chiffres) v₈ = 2⁸ + 3⁸ + 4⁸ + 5⁸ + 6⁸ + 7⁸ + 8⁸ + 9⁸ + 10⁸ + 11⁸ + 12⁸ + 13⁸ + 14⁸ = 3 103 591 430 (10 chiffres) v₉ = 2⁹ + 3⁹ + 4⁹ + 5⁹ + 6⁹ + 7⁹ + 8⁹ + 9⁹ + 10⁹ + 11⁹ + 12⁹ + 13⁹ +14⁹ = 40 357 578 672 (11 chiffres)
v₁₀ = 2¹⁰ + 3¹⁰ + 4¹⁰ + 5¹⁰ + 6¹⁰ + 7¹⁰ + 8¹⁰ + 9¹⁰ + 10¹⁰ +11¹⁰ + 12¹⁰ + 13¹⁰ + 14¹⁰ = 529 882 276 550 (12 chiffres) v₁₁ = 2¹¹ + 3¹¹ + 4¹¹ + 5¹¹ + 6¹¹ + 7¹¹ + 8¹¹ + 9¹¹ + 10¹¹ +11¹¹ + 12¹¹ + 13¹¹ +14¹¹ = 7 012 409 922 576 (13 chiffres) v₁₂ = 2¹² + 3¹² + 4¹² + 5¹² + 6¹² + 7¹² + 8¹² + 9¹² + 10¹² +11¹² +12¹² + 13¹² + 14¹² = 93 413 954 854 790 (14 chiffres)
Si on introduit 15 comme treizième terme dans S₁, v₉ = 78 800 938 047 a 11 chiffres mais il y a une rupture avec v₁₀ = 1 106 532 667 175 qui a 13 chiffres et non 12.
4ème cas: u₁ = 4 soit S₁ = {4,5,6,...}
Ce cas est impossible car il faudrait que S₁ contienne au moins 42 termes consécutifs tels que 4,5,...,45,45 de sorte que leur somme soit égale à 1029 et contienne exactement 4 chiffres. La somme des carrés de ces termes est égale à 31 381 et contient u₂ = 5 chiffres tandis que la somme des cubes qui vaut 1 071 189 contient 7 chiffres et non 6. Contradiction avec u₃ = 6.
A fortiori pour u₁ > 4, il n'y a aucune solution car la rupture apparaît dès le calcul de la somme des carrés.
Conclusion: les deux suites S₁ et S₂ ont toujours un nombre fini de termes.
Q₂
Le nombre maximum de termes est donnée dans le 3ème cas analysé ci-dessus.
La solution est unique et le plus grand terme vaut = 93 413 954 854 790
