A386 – Les factorions [*** et avec l’aide d’un automate]
Problème proposé par Raymond Bloch
On appelle factorion un entier positif qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres (SFF). La somme peut être réduite à un seul terme et par convention 0 ! = 1.
Q₁ Démontrer qu’en base 10 le nombre de factorions est fini.
Q₂ Dresser la liste complète des N factorions en base 10 Pour les plus courageux avec l’aide d’un automate:
Q₃ Démontrer qu’il existe une base b < 10 dans laquelle il existe N factorions comme en base 10 et une base b
>10 dans laquelle il existe N + 1 factorions.
Q₄ Trouver une paire d’entiers distincts a et b appelés « factorions aimables » , telle que SFF(a) = b et SFF(b) = a.
Solution proposée par Daniel Collignon Q1
Pour n>=1, un factorion f à n chiffre(s), vérifie la relation somme(i=0, n-1, d_i*10^i) = f = somme(i=0, n-1, (d_i)!) où d_i sont des chiffres, d_{n-1} étant non nul.
D'où 10^(n-1) =< f =< 9!*n.
Or 10^(n-1)/n est une fonction croissante de n et l'inégalité n'est plus respectée dès lors que n>=8.
Cela prouve donc qu'en base 10 le nombre de factorions est fini Q2
Trivialement nous avons 1=1! et 2=2!
Il est aisé de trouver 145=1!+4!+5!
Moins trivial est 40585=4!+0!+5!+8!+5!
D'où N=4 Q3
Il existe 4 factorions, en base 6 ( 1, 2, 41, 42)
Il existe 5 factorions en base 11 (1, 2, 24, 44, 28453) Q4
2 exemples pour a et b avec a<b : 871 et 45361
872 et 45362 Références :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Factorion https://oeis.org/A061602
https://projecteuler.net/problem=74
