Q1 Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible

Enoncé E134 (Diophante)

Les suites les plus longues du millésime

Dans chacune de ces deux suites, on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs

puis on calcule le k-ième terme (k > 2) en soustrayant le (k −1)ième terme du (k−2)ième terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que les termes sont positifs ou nuls.

Q1 Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.

Q2 Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait 21 termes dont le dernier est égal à 2018.

Dans les deux cas, justifiez votre réponse.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

La relation de récurrence uk =uk−2−uk−1 se ramène à la récurrence de Fibonacci en posant v_k= (−1)^ku_k, ce qui conduit àv_k=vk−1+vk−2. La solution par les nombres de Fibonacci est classique :

vk =v2Fk−1+v1Fk−2, soit ici (−1)^kuk =u2Fk−1−u1Fk−2.

Les rapportsFk−1/Fk−2 sont en alternance supérieurs (kpair) et inférieurs (k impair) au nombre d’or ϕ. Ainsi le signe de u_k reste positif tant que Fk−1/Fk−2 −u1/u2 a les mêmes alternances que Fk−1/Fk−2−ϕ, c’est à dire tant que u1/u2 reste plus proche de ϕqueFk−1/Fk−2.

Question 1

On maximise le nombre de termes en prenantu1/u2 proche de ϕ, c’est à direu₂ voisin de u₁/ϕ= 2018/ϕ= 1247,19. . .

Les valeurs 13, 21, 24, 55, 89 desF_i pour i= 7 à 11 conduisent au classe- ment

F₈ F7

< 2018

1249 < 2018 1248 < F₁₀

F9

< ϕ < F₁₁ F10

< 2018 1247 < F₉

F8

On voit queu₁₂<0< u₁₁ pouru₂ = 1247, lesu_k<0 se produisant pour kpair ;u₂ ≥1248 donne lesu_k<0 pour kimpair dèsu₁₁.

Ainsin1= 11, u2 = 1247.

Question 2

Les conditions s’écriventu₂₁=u₁F₁₉−u₂F₂₀= 2018, u22=u2F21−u1F20<0.

Comme 1 =F₁₉F₂₁−F₂₀² , la première condition se résout en u1−2018F21

F₂₀ = u2−2018F20

F₁₉ =m entier, d’où u₁ = 2018F₂₁+mF₂₀,u₂ = 2018F₂₀+mF₁₉, et

u22= (2018F20+mF19)F21−(2018F21+mF20)F21=m <0.

On minimiseu₁ en minimisant m, mais la condition

0≤u₂₀=u₂F₁₉−u₁F₁₈= 2018 +m conduit àm=−2018.

Avec les valeurs 4181, 6765, 10946 pour lesFi (i= 19 à 21) : u₂ = 2018·6765−2018·4181 = 5214512,

u1 = 2018·10946−2018·6765 = 8437258.