E137. © RG
Une suite S de Richard Guy est une collection de fractions telles que le dénominateur de la (k + 1)ième fraction est égal au numérateur de la kième fraction tandis que le numérateur de (k + 1)ième fraction est égal au plus petit carré parfait compatible avec une suite S strictement croissante.
Par exemple si la kième fraction est égale à 25/9, le dénominateur de la (k +1)ième fraction est égal à 25 et son numérateur est égal à 81 qui est le plus petit carré parfait tel que 81/25 > 25/9.
Q1 Le premier terme de la suite S est la fraction 4/1. Déterminer la valeur limite de S ou prouver que S croit indéfiniment.
Q2 Démontrer qu’il existe une suite S dont les numérateur et dénominateur de la première fraction sont deux entiers positifs strictement inférieurs à 100 telle qu’au-delà de la quinzième fraction, le carré de 2020
apparaît dans deux fractions consécutives.
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Solution proposée par Daniel Collignon Q₁
La suite des racines carrés des dénominateurs vérifie d_{k+1} = 1+int((d_k)²/(d_{k-1}) avec d_1=1 et d_2=2.
Les premières valeurs sont 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, …
On reconnaît un terme sur deux de la suite de Fibonacci, ce qui laisse présager que la limite cherchée vaut phi^4=(1+phi)²=phi²+2phi+1=3phi+2 où phi=(1+racine(5))/2
Remarque : c'est confirmé dans une définition de https://oeis.org/A001519
"a(1) = 1, a(2) = 2, then the least number such that the square of any term is just less than the geometric mean of its neighbors. a(n+1)*a(n-1) > a(n)^2. - Amarnath Murthy, Apr 06 2004"
Q₂
On part de 94²/80². D'où le terme suivant 111²/94² suivi de 132²/111² etc....
D'où
