Dans chacune de ces deux suites S₁ et S₂, on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kième terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ième terme du (k − 2)ième terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que le termes sont positifs ou nuls.
Q₁ Le premier terme de S₁ étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme et le nombre n₁ de termes de S₁ de sorte que n₁ est le plus grand possible.
Q₂ Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de S₂ de sorte que S₂ a le plus grand nombre possible de termes n₂ = 21 et le vingt et unième et dernier terme est égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
Q1 : Si uk désigne le k-ième terme de la suite S, u3=u1-u2, u4=u2-u3=2u2-u1, u5=u3-u4=2u1-3u2, u6=u4-u5=5u2-3u1 : uk=(-1)k( Fk-2u2-Fk-3u1) où Fk est la suite de Fibonacci : F0=F1=1, et pour k≥2, Fk=Fk-1+Fk-2.
Le rapport de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci formant une suite de convergents vers le nombre d’or, φ=(1+√5)/2, on obtiendra la suite S la plus longue possible si le rapport des deux premiers termes est voisin du nombre d’or.
Ainsi, si u1=2018, avec u2=1247, on obtient une suite de 11 termes : u3=771, u4=476, u5=295, u6=181, u7=114, u8=67, u9=47, u10=20 et u11=27.
Q2 : Inversement un-2=un-1+un, un-3=2un-1+un,... et u1=Fn-2un-1+Fn-3un : u21 étant fixé égal à 2018, on obtient la plus petite valeur de u1 pour u20=0, soit u1=2018*F18, soit u1=2018*4181=8437258.
