E134. Les suites les plus longues du millésime *
Dans chacune de ces deux suites, on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kième terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ième terme du (k − 2)ième terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que le termes sont positifs ou nuls.
Q1 Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
Q2 Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait 21 termes dont le dernier est égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
Solution porposée par Jean Nicot
Q1- Dans les suites de Fibonacci, le rapport entre deux termes consécutifs est le nombre d’or ϕ=1+√52 2018/ϕ = 1247,19
En prenant comme second terme l’entier 1247, on obtient la suite : 2018, 1247, 771, 476, 295, 181, 114, 67, 47, 20, 27. Avec 1248 comme second terme, on a une valeur en moins.
Le second terme est1247.
Q2- si le dernier terme est 2018, c’est que le terme suivant serait négatif. En revenant au sens habituel d’une suite de Fibonacci, il s’agit d’une suite dont les deux premiers termes sont 2018 et 0 ; cela donne -2018 pour le terme précédent et second terme nul (qui aurait pu prendre toute valeur jusqu’à 2017), assure un 21ème terme le plus faible. Ce 21ème terme vaut 8437258 et le 20ème 5214512.
