E141 – Les suites du millésime [** à la main]
Q₁ On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme.
Q₂ Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ? Nota : les deux questions sont indépendantes.
Solution proposée par Pierre Leteurtre
Q1 : la relation de récurrence est Un+1 = Sch(Un + Un-1) où Sch(x) est la somme des chiffres de x en écriture décimale.
On s'aperçoit que cette suite est récurrente sur une période de 24 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 / 1 1 2 3 5 ...
La 2021ème valeur est donc égale à la 5ème (càd 5) puisque 2021 = 84 x 24 + 5
Q2 : La somme des (n+1) valeurs de i, de i=a jusqu'à i=a+n, vaut S = (2a + n)(n + 1)/2
Comme 2021 = 43 x 47, il n'y a que 4 possibilités en nombres positifs : n = 0, a = 2021 : seule valeur
n = 1, a = 1010 : 1010 et 1011
n = 42, a = 26 : de 26 à 68 (2a+n) = 2x47, (n+1) = 43 n = 46, a = 20 : de 20 à 66 (2a+n) = 2x43, (n+1) = 47 Si on admet les nombres négatifs, il y a 4 autres possibilités :
de -2020 à 2021 de -1009 à 1011 de -25 à 68 de -19 à 66
