E134. Les suites les plus longues du millésime
Dans chacune de ces deux suites,on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kième terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ième terme du (k − 2)ième terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que le termes sont positifs ou nuls.
Q1 Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
Q2 Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait 21 termes dont le dernier est égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
Q1) Si le deuxième terme est a, si on pose 2018 = b, les termes successifs sont :
b a b-a 2a-b 2b-3a 5a-3b 5b-8a 13a-8b
Les coefficients qui apparaissent sont les termes de la suite de Fibonacci.
Le nombre a doit vérifier à la fois a < b, a > b/2, a < 2/3.b, a > 3/5.b, a < 5/8.b, a > 8/13.b etc.
La limite de la suite 1, ½, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13 etc. est (√5 – 1 )/2, il faudrait donc choisir a = 2018(√5 – 1 )/2 mais ce nombre 1247,19... n'est pas entier. Vaut-il mieux choisir a = 1247 ou a = 1248 ?
2018 1247 771 476 295 181 114 67 47 20 27 -7
2018 1248 770 478 292 186 106 80 26 54 -28
Avec a = 1247 on obtient onze termes positifs consécutifs.
Q2) Si on calcule le kième terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ième terme du (k − 2)ième terme, inversement on calcule le (k – 2 ) ième comme somme des termes de rang (k – 1) et k.
Du 21ième terme en reculant vers le premier terme on retrouve une suite de Fibonacci.
Supposons que le 20ième soit égal à 0 et le 21ième égal à 1, le 22ième serait – 1, donc la suite des termes tous positifs s'arrêterait au 21ième terme.
Avec les deux premiers termes égaux à 4181 et 2584 le 21ième et dernier terme est égal à 1.
Comme la récurrence est linéaire, la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait 21 termes dont le dernier est égal à 2018 est donc 4181*2018 = 8437258.
