E134. Les suites les plus longues du millésime
Dans chacune de ces deux suites,on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers
strictement positifs puis on calcule le kième terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ième terme du (k − 2)ième terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que le termes sont positifs ou nuls.
Q1 Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
Q2 Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait 21 termes dont le dernier est égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
On peut remarquer que cette suite est une variante de la suite de Fibonacci tout simplement inversée. Le rapport entre 2 termes tend donc vers le nombre d'or.
Au bout de 8 ou 9 termes, l'approximation est déjà très bonne.
Question 1 :
On souhaite partir de 2018 ce qui e,courage à partir de 2018 / phi = 1247, 194...
On trouve effectivement un maximum de
11 termes
pour 1247 :2018, 1247, 711, 476, 295, 181, 114, 67, 47, 20 et 27
Question 2 :
Toujours en partant du fait que la suite est une suite inverse de type Fibonacci , le problème est encore plus simple :
Il s'agit, à l'envers, de construire une telle suite de premier terme 2018 et de second terme positif ou nul, mais inférieur à 2018 ( pour avoir un 22e terme négatif ) .
Les 20e et 21e termes d'une telle suite sont solution du problème et seront d'autant plus petits que le second terme l'est.
Il suffit donc de prendre 2018 et 0 pour tomber sur une suite optimale.
F(1)=2018 F(2)=0 … F(20) = 5214512 F(21) = 8437258
