E134 − Les suites les plus longues du millésime
Dans chacune de ces deux suites, on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kème terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ème terme du (k − 2)ème terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que les termes sont positifs ou nuls.
Q₁ Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
Q₂ Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait le plus grand nombre possible de termes égal à 21 avec un dernier terme égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
Solution de Raymond Bloch.
Q1 Si les deux premiers termes sont a et b, le kième terme a la forme
(-1)k [ Fk-1 * b – Fk-2 * a ] , où Fi est le nombre de rang i dans la série de Fibonacci.
Comme le ratio de deux nombres consécutifs de cette série tend vers = (1+√5)/2 , le nombre de termes sera maximum si le deuxième terme a2 est l’entier le plus proche de 2018/ = 1247,19…, donc a2 = 1247. La suite a alors 11 termes, le maximum possible :
2018, 1247, 771, 476, 295, 181, 114, 67, 47, 20, 27.
Et si belle-maman refuse de croire à l’optimalité de a2 = 1247 – « ma bru, ou mon gendre, le recours au nombre d’or relève plus de la magie que de la rationalité » - , voici de quoi la convaincre :
- si a2 = 1246, la suite n’a plus que 9 termes : 2018,1246,772,474,298,176,122,54,68.
- Et si a2 = 1248, la suite n’a que 10 termes : 2018,1248,770,478,292,186,106,80,26,54.
« Ah oui, conclut la belle-mère. N’est-ce pas dans ce cas que les X disent que la pente de la tangente est raide autour de l’optimum ? ».
Je t’embrasse, belle-maman.
Q2 Si le 21ième terme est 2018, et si on veut minimiser le premier terme, alors la suite se termine par
…, 5*2018, 3*2018, 2*2018, 2018, 2018, 0, 2018.
Le premier terme sera donc égal à F19*2018 = 4181*2018 = 8 437 258.
