E134 − Les suites les plus longues du millésime
Dans chacune de ces deux suites, on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kème terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ème terme du (k − 2)ème terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que les termes sont positifs ou nuls.
Q₁ Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
Q₂ Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait le plus grand nombre possible de termes égal à 21 avec un dernier terme égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Nous avons affaire ici à deux suites cousines de celle de Fibonacci . Et elles sont à l'envers . Q₁:
On cherche le second terme en divisant le premier par le nombre d'or φ = 1.6180339887...
On a alors U₂ = 2018 / 1.6180339.. = 1247.1925...
Puisque dans la suite de Fibonacci, le rapport de 2 termes successifs U k / U k-1 se rapproche de φ quand k devient de plus en plus grand..
a) avec 1246 comme second terme, la suite contient 9 termes positifs . b) avec 1248 comme second terme, la suite contient 10 termes positifs .
c) avec 1247 comme second terme, la suite contient 11 termes positifs . S = { 2018 , 1247 , 771 , 476 , 295 , 181 , 114 , 67 , 47 , 20 , 27 }
Nota:
Le millésime 2016, quant à lui,génère une suite de 13 termes puisque 2016 = 14 x 144 ( 144 est un nombre de Fibonacci ).
Ainsi S : { 2016 , 1246 , 770 , 476 , 294 , 182 , 112 , 70 , 42 , 28 , 14 , 14 , 0 } .
Q₂:
Si on veut minorer le premier terme de la suite N°2, on retourne alors la suite.
Après 2018 le second terme sera 0 ; ainsi :
S = { 2018 , 0 , 2018 , 2018 , 4036 , 6054 , 10090 , 16144 , 26234 , 42378 , 68612 , 110990 , 179602 , 290592 , 470194 , 760786 , 1230980,1991766 , 3222746, 5214512 , 8437258 } contient 21 termes .
8 437 258 = 2018 x 4181 = 2018 x F19 est donc le premier terme de la suite ,
5 214 512 = 2018 x F18 en est le second avec U 1 / U 2 = 1.618034055672... proche de φ.
