A574 – Les diviseurs de nn [*** à la main]
Pour k = 1,2,3,...on détermine la suite S des entiers positifs dont le terme général uk est égal au plus petit entier n tel que nn admet au moins 10k diviseurs entiers positifs.
Q₁ Trouver le plus petit indice k₁ tel qu'on trouve pour la première fois dans S deux termes consécutifs identiques.
Q₂ Trouver le plus petit indice k₂ tel qu'on trouve pour la première fois dans S trois termes consécutifs identiques.
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
Tout entier n peut être factorisé sous la forme n = p1α1.pα22.pα33....pαrr avec les n facteurs premiers {pi } pour i = 1,2,..,r Le nombre de diviseurs de nn est alors égal à N = (n.α 1)
r
1 i
i
Il s'agit de trouver pour k = 1,2,3,...etc, le plus petit n tel que N ≥ 10 . k
Il apparaît que N progresse exponentiellement en fonction du nombre de facteurs premiers de n.
Si l'on considère les plus petits entiers n qui font apparaître 1 puis 2 puis 3 etc..facteurs premiers distincts,on a la table de correspondance suivante::
n = 2 . D'où nn = 2² et N = 3
n = 2.3 = 6. D'où nn= 2⁶.3⁶ et N = (6+1)² = 7² = 49 > 10
n = 2.3.5 = 30.D'où nn= 2³⁰.3³⁰.5³⁰ et N = (30 + 1)³ = 31³ = 29791 > 10⁴
n = 2.3.5.7 = 210. D'où nn=2²¹⁰.3²¹⁰.5²¹⁰.7²¹⁰ et N = (210 + 1)⁴ = 211⁴ = 1 982 119 441 > 10⁹
n = 2.3.5.7.11 = 2310. D'où nn=2²³¹⁰.3²³¹⁰.5²³¹⁰.7²³¹⁰.11²³¹⁰ et N = (2310 + 1)⁵ = 2311⁵ = 65 917 348 148 432 551 > 10¹⁶
Pour k = 1, le plus petit entier n vaut 6. On vérifie aisément que pour n = 2,3,4,5 les valeurs respectives de N sont 3,4,9,6 toutes < 10.
Pour k = 2, on obtient rapidement la valeur n = 10 avec laquelle N=11² = 121 > 10² sachant que pour n = 7,8 et 9 on a respectivement N = 8, 25 et 19 Pour k = 3, on étudie les entiers n de la forme 2.3 et on cherche le plus petit p tel que N = (3p2+1).( 3. 2+ 1) > 1000 et pour α = 3, on obtient N
=73.25 = 1825 > 1000 soit n = 24.
Pour k = 4, on a la valeur n = 30 obtenue supra.
Pour les valeurs de k variant de 5 à 7, on sélectionne les entiers n ayant 3 facteurs premiers du type 2.3.5 ou 2.3.7 ou 2.3.11 tous < 210 et on obtient successivement:
n = 60 = 2².3.5 qui donne N = (2.60 + 1).(60 + 1)² =121.61² = 450 241 >10⁵ qui répond à la question pour k = 5 n = 84 = 2².3.7 qui donne N = (2.84 + 1).(84 + 1)² = 169.85² = 1 221 025 >10⁶ qui répond à la question pour k = 6
n = 120 = 2³.3.5 qui donne N = (3.120 + 1).(120 + 1)² = 361.121² = 5 285 401 < 10⁷ qui ne répond pas à la question pour k = 7
n = 132 = 2².3.11 qui donne N = (2.132 + 1).(132 + 1)² =264.133² = 4 669 896 < 10⁷ qui ne répond toujours pas à la question pour k = 7 n = 168 = 2³.3.7 qui donne N = (3.168 + 1).(168 + 1)² = 505.169² = 14 423 305 >10⁷ qui répond à la question pour k = 7
Pour obtenir l'entier n correspondant à k = 8, on constate que si n a au maximum trois facteurs premiers distincts tout en étant < 210, alors avec n de la forme 2³.p₂,p₃ N est borné par (3.210 + 1).(210 + 1)² = 631.211² = 28 092 751 < 10⁸ avec n = 2².3².p₃, N est borné par (2.210 + 1)².(210+1) = 421².211
= 37 397 851 < 10⁸ . Il n'y a donc pas de solution pou n < 210 et c'est donc l'entier n = 210 avec ses quatre facteures premiers distincts qui permet à la fois de répondre à la première question pour k = 8 et k = 9.
Conclusion: le plus petit indice k₁ est donc 8.
Q₂
Pour les valeurs de k > 9, il y a lieu de se focaliser sur les entiers n de l'intervalle [210, 2310] qui ont quatre facteurs premiers distincts. En effet si l'on retient trois facteurs premiers distincts, 2,3 et 5 par exemplequi sont les plus petits possibles et n de la forme 2.3.5, on a :
pour α = 4, n = 240 et N = 55 815 841 << 10¹⁰ ou bien pour α = 5, n = 480 et N = 1 249 580 761 <<10¹⁰.
De même si n est de la forme n = 2α.3β.5, on a pour α = 3 et β= 2, n = 360 et N = 281 363 761 <<10¹⁰.
Avec n = 2.3.5.p₄, on obtient pour:
p₄ = 11, n = 330 et N = 331⁴ = 12 003 612 721 > 10¹⁰ qui répond à la question pour k = 10 puis
p₄ = 19, n = 570 et N = 571⁴ = 106 302 733 681 > 10¹¹ qui répond à la question pour k = 11.
Pour k = 12, si l'on maintient les exposants des quatre facteurs premiers égaux à 1, on a (n + 1)⁴ > 10¹² et n ≥ 1000.
Il y a mieux en prenant n = 2α.3.5.7 et avec α = 3, soit n = 840, on a N = (3.840 + 1).(840 + 1)³ = 1 499 549 592 241 >10¹². n = 2.3².5.7 = 630 ne convient car N = (2.630 + 1).(630 + 1)³ = 1261.631³ = 316 813 124 251 < 10¹²..
Pour k = 13, le meilleur candidat est obtenu avec n = 2α.3β.5.7 et avec α = β = 2, on a n = 1260 et N = 2521².1261² = 10 105 920 198 361 > 10¹³.
Il ne reste plus qu'à tester les multiples de 210 = 2.3,5.7 compris entre 1260 et 2310 à savoir 1470, 1680, 1890, 2100 pour constater qu'aucun d'entre eux ne permet d'atteindre 10¹⁴.
n = 1470 = 2.3.5.7² et N = (2.1470 + 1).(1470 + 1)³ = 2941.1471³ = 9 361 232 736 451 <<10¹⁴ n = 1680 = 2⁴.3.5.7 et N = (4.1680 + 1).(1680 + 1)³ = 6721.1681³ = 31 925 450 603 761 < 10¹⁴ n = 1890 = 2.3³.5.7 et N = (3.1890 +1)(1890 + 1)³ = 5671.1891³ = 38 347 250 796 541< 10¹⁴ n = 2100 = 2².3.5².7 et N = (4200 + 1)².(2100 + 1)² = 4201².2101² = 77 903 589 342 601 < 10¹⁴
Conclusion: pour k = 14, le meilleur candidat est n = 2310 qui donne l'entier N = 65 917 348 148 432 551. Celui-ci satisfait à la fois les trois inégalités N > 10¹⁴, N >10¹⁵ et N >10¹⁶. Il en résulte que k₂ = 14.
Nota: la séquence A062319 de l'O.E.I.S. confirme les résultats obtenus pour les valeurs de n ≤ 1000.
