Si K est un sous-corps de Qa tel que [K :Q]&lt

Université Paris Diderot M2 Géométrie d’Arakelov

Contrôle de connaissance du mercredi 13 avril 2016 14h-17h, Sophie Germain, salle 2015

Les documents sont autorisés.

Notations

Dans toute l’épreuve, Q^a désigne la fermeture algébrique de Q dans C. Si K est un sous-corps de Q^a tel que [K :Q]<+∞, on désigne par M_K l’ensemble des places de K.

Soit K un sous-corps de Q^a qui est une extension finie de Q. Pour toute placev ∈M_K, soit |.|_v la valeur absolue dans la classe v dont la restriction à Q s’identifie à la valeur absolue usuelle ou une valeur absoluep-adique normalisée de sorte que|p|_v =p⁻¹, oùpest un nombre premier, et on désigne par K_v le complété de K par rapport à |.|_v sur lequel la valeur absolue |.|_v s’étend de façon unique. Rappelons qu’un fibré vectoriel adélique sur SpecK est par définition un espace vectoriel de rang fini E sur K muni d’une famille (k.k_E,v)v∈M_K de normes, où k.k_E,v est une norme sur E⊗_KK_v, de sorte que toute base de E sur K est orthonormée par rapport à k.k_E,v pour toute sauf un nombre fini de places v ∈ M_K. Si de plus E est de rang 1, on dit que (E,(k.k_E,v)_v∈MK) est un fibré inversible adélique sur SpecK. Si E = (E,(k.k_v)v∈M_K) est un fibré vectoriel adélique sur SpecK, on définit le degré d’Arakelov normalisé de E comme

ddeg_n(E) =− X

v∈M_K

[Kv :Q^v]

[K :Q] lnks1∧ · · · ∧srkE,v,dét,

oùQv est le complété deQ par rapport à |.|_v et (s_i)^r_i=1 est une base de E surQ. On a vu dans le cours que la valeur dedegd_n(E) ne dépend pas du choix de la base(s_i)^r_i=1. Si E est non-nul, sa pente est définie comme bµ(E) =degd_n(E)/rg(E).

On fixe un entierd>1dans l’épreuve et on désigne parV l’espace vectorielQ^d+1 surQ. Soient P^d_Q le schéma P(V^∨), et π : P^d_Q → SpecQ le morphisme structurel. Rappelons que, pour tout Q-schémaS dont le morphisme structurel est p:S →SpecQ, l’ensembleP^d_Q(S) s’identifie à l’ensemble des quotients inversibles de p^∗(V^∨). En particulier, si K est une extension de Q, alors P^d_Q(K) := P^d_Q(SpecK) s’identifie à l’ensemble des espaces quotients de rang1deV^∨⊗_QK ∼= (V_K)^∨, oùV_K désigne l’espaceK-vectorielV ⊗_QK =K^d+1. Enfin, on désigne par O(1) le faisceau inversible universel sur P^d_Q. C’est le quotient inversible de π^∗(V^∨)qui correspond àId :P^d_Q →P^d_Q via le lemme de Yoneda. Si N est un entier,N >1, on désigne par O(N)la puissance tensorielle O(1)^⊗N.

On munit l’espace vectoriel V d’une famille de norms (k.k_v)v∈M_Q de sorte que V = (V,(k.k_v)_v∈M

Q) devienne un fibré vectoriel adélique sur Q. Pour tout place v ∈ M_Q, soit P^d_Qv leQv-schémaP^d_Q×_SpecQSpecQv et on désigne parO(1)_v le tire en arrière deO(1)par le morphisme de projection P^d_Qv → P^d_Q. Pour toute place v ∈ M_K, soit ϕ_v la metrique de Fubini-Study surO(1)_v induite par la norme k.k_v.

Première partie

1. Soit K un sous-corps de Q^a. Soit u_K : K^d+1\ {0} → P^d_Q(K) l’application qui envoie x= (x₀, . . . , x_d)en l’espace quotient deV^∨⊗_QK ∼=V_K^∨ par le sous-espace vectoriel des formes linéairesϕ∈V_K^∨ telles queϕ(x) = 0. Montrer que l’applicationuK est surjective et que u_K(λx) = u_K(x) pour tout λ ∈ K^× := K \ {0} et tout x ∈ K^d+1 \ {0}. En déduire que u_K induit une bijection(K^d+1\ {0})/K^×→P^d_Q(K) qui est fonctorielle par rapport à K ⊂Q^a.

2. Soient K1 ⊂K2 deux sous-corps deQ^a. Montrer que l’application canonique Pⁿ(K1)→ Pⁿ(K₂)est injective.

3. Montrer que, pour tout sous-corps K deQ^a, le système des applications canoniques P^d_Q(K⁰)−→P^d_Q(K), K⁰ ⊂K sous-corps, [K⁰ :Q]<+∞

identifie P^d_Q(K) à la limite inductive des P^d_Q(K⁰), où K⁰ parcourt l’ensemble des sous- corps de K qui sont des sous-extensions finies de Q.

4. Soit N un entier, N >1. Soient K un sous-corps de Q^a qui est une extension finie de Q et x : SpecK → P^d_Q un élément de P^d_Q(K). Pour toute place v ∈ M_K, soient x^an_v le point de P^d,an_Qv déterminé par le Q-morphisme de schémasx_v : SpecK_v → P^d_Q qui est le composé dex avec le morphisme canoniqueSpecK_v →SpecK, etk.k_x,N,v la norme sur x^∗_v(O(N))∼=x^∗(O(N))⊗KKv induite par k.kN ϕv(x^an_v ). Montrer que

x^∗(O(N)) := x^∗(O(N)),(k.k_x,N,v)v∈M_K

est un fibré inversible adélique sur SpecK et que x^∗(O(N))∼=x^∗(O(1))^⊗N. 5. Pour tout sous-corps K de Q^an qui est une extension finie deQ, on désigne par

h_{V ,K} :P^d_Q(K)−→R

qui envoiex∈P^d_Q(K)endegd_n(x^∗(O(1))). Montrer que, siK₁ ⊂K₂ sont deux sous-corps de Q^an qui sont des extensions finies deQ et si x est un élément deP^d_Q(K1), alors on a h_{V ,K}

1(x) =h_{V ,K}

2(x). En déduire qu’il existe une unique fonction h_V :P^d_Q(Q^a)−→R

telle que, pour tout sous-corps K de Q^a qui est une extension finie deQ, la restriction de h_V àP^d_Q(K) s’identifie à h_{V ,K}.

6. Montrer que, si L est un fibré inversible adélique surSpecQ tel que L=Q, alors on a h_V⊗L =h_V +ddeg_n(L).

7. Construre une structurede fibré vectoriel adélique (k.k_v)v∈M_Q surV telle que h_V((a₀ :· · ·:a_d)) = max(|a₀|, . . . ,|a_d|)

pour tous entiers a₀, . . . , a_d tels que pgcd(a₀, . . . , a_d) = 1, où (a₀ : · · · : a_d) désigne la classe de (a0, . . . , ad)dans (Q^d+1\ {0})/Q^×.

8. Soient(k.k⁰_v)v∈M_Qune autre structure de fibré vectoriel adélique surV etV⁰ := (V,(k.k⁰_v)v∈M_Q).

Montrer que la fonction |h_V −h_V0| surP^d_Q(Q^a) est bornée.

9. Montrer que la fonction h_V est bornée inférieurement.

10. Montrer la propriété de Northcott : pour tout nombre réel B, l’ensemble {x∈Pⁿ_Q(Q)|h_V(x)6B}

est fini.

11. Montrer que, pour tout entier δ>1 et tout nombre réel B, l’ensemble {x∈Pⁿ_Q(Q^a)|h_V(x)6B, deg(x)6δ}

est fini, oùdeg(x)désigne le degré surQdu corps résiduel du point schématique l’image de x: SpecQ^a →P^d_Q.

Seconde partie

Dans cette partie, on fixe un sous-schéma fermé et intègre X de P^d_Q. Pour tout entier N >1, on désigne parE_N l’espace vectoriel H⁰(X,O(N)|_X). Pour toute placev ∈M_Q, on munit E_N ⊗_QQv ∼=H⁰(X_Qv,O(N)_v|_XQv)de la norme k.k_N,v,sup, définie comme

ksk_N,v,sup = sup

x∈X^an

Qv

ks(x)k_{N ϕv}(x).

On a vu dans le cours que E_N = (E_N,(k.k_N,v,sup)v∈M_K) est un fibré vectoriel adélique sur SpecQ. SiN >1 est un entier, s ∈ E_n est une section non-nul et x∈ X(Q) est un point rationnel, pour toutv ∈M_Q, on désigne pard_v(s, x) le nombre

ks(x)k_{N ϕv}(x^an) ksk_N,v,sup .

Par définition on a d_v(s, x)>0, et l’égalité est satisfaite si et seulement si s(x) = 0.

12. Soient N >1un entier etF un sous-espace vectoriel deEN. Montrer que, six∈X(Q^a) est en dehors du lieu de base de F, alors on a

h_V(x)> 1

Nµb_min(F),

oùµb_min(F)désigne la valeur minimale des pentes des fibrés vectoriels adéliques quotients non-nuls de F.

13. On définit le minimum essentiel deX comme

µb_ess(X) := sup

Y(X

inf

x∈(X\Y)(Q^a)

h_V(x),

où Y parcourt l’ensemble des sous-schémas fermés stricts de X. Montrer l’inéaglité suivante

N→+∞lim 1 N sup

06=s∈E_N

ddeg_n(s)6µb_ess(X).

Dans la suite, on fixe N >1 un entier et s un élément non-nul de E_N. 14. Montrer que dv(s, x)61pour toute v ∈M_Q et tout x∈X(Q).

15. Soit v une place de Q. Soit tv un nombre réel, tv > N. Montrer qu’il n’existe qu’un nombre fini de points rationnels x∈X(Q) tels que

s(x)6= 0 et d_v(s, x)6H_V(x)^−tv,

où H_V = exp(h_V).

16. Soient M une famille finie de places de Q. Soit (t_v)v∈M une famille de nombres positifs telle que P

v∈M t_v > N. Montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de points rationnels x∈X(Q) tels que s(x)6= 0 et que

∀v ∈M, d_v(s, x)6H_V(x)^−tv.

Fin de l’épreuve