Pour k = 1,2,3,...on détermine la suite S des entiers positifs dont le terme général uk est égal au plus petit entier n tel que nn admet au moins 10k diviseurs entiers positifs.
Q₁ Trouver le plus petit indice k₁ tel qu'on trouve pour la première fois dans S deux termes consécutifs identiques, à savoir uk=uk+1.
Q₂ Trouver le plus petit indice k₂ tel qu'on trouve pour la première fois dans S trois termes consécutifs identiques, à savoir uk=uk+1=uk+2.
Soit la décomposition en facteurs premiers n=pa...qb donc nn=pan...qbn, et le nombre de diviseurs de nn est d(nn)=(an+1)...(bn+1). La plus grande puissance de 10
inférieure à d(nn) est f(n)=[log(an+1)+...+log(bn+1)] où log désigne le logarithme décimal et [ ] la partie entière. Si j est le nombre de facteurs premiers distincts
f(n)<[j*log(n+1)+log(a)+...+log(b) ; si tous ces facteurs sont simples, f(n)=[j*log(n+1)].
Comme, très rapidement, log(n+1) est beaucoup plus grand que log(a), etc... , si le nombre de facteurs premiers distincts de n est supérieur à celui de m, nous aurons f(n>f(m) : f(n) s’incrémente lorsque le nombre de facteurs premiers augmente, en particulier pour les valeurs de la primorielle : 2, 6, 30, 210, 2310...
Ainsi, u1=6, u2=10, u3=24, u4=30, ...
Q1 : Pour n=210=2*3*5*7, f(n)=9, tandis que pour le plus grand nombre inférieur à 210 ayant trois facteurs premiers distincts, soit 180, f(180)=7. Donc u8=u9=210 Q2 : De même, pour n=2310, f(n)=16, tandis que pour les plus grands nombres inférieurs à 2310 ayant quatre facteurs premiers distincts, f(1980)=f(2100)=f(2244)=13 Donc u14=u15=u16=2310.
