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A632 − Les partitions du millésime [* à *** à la main] On s'intéresse aux partitions de l'entier 2018 en k entiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) pk

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Academic year: 2022

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A632 − Les partitions du millésime [* à *** à la main]

On s'intéresse aux partitions de l'entier 2018 en k entiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple) pk est le plus petit possible.

Ainsi p₁ = 2018 et p₂ = 2016 avec la partition 2018 = 2016 + 2. Tout autre partition de 2018 de la forme 2018 = a + (2018 − a) donne un PPCM de a et 2018 − a qui est strictement supérieur à 2016.

Q₁ Démontrer que la suite des pk contient un nombre fini de termes.

Q₂ Déterminer les termes de la suite des pk pour k variant de 3 à 9.

Q₃ Déterminer la valeur minimale des termes de la suite des pk et les indices k pour lesquel cette valeur minimale est atteinte.

Q₄ Pour les plus courageux: determiner la valeur du dernier terme de la suite des pk.

Solution proposée par Daniel Collignon

Q₁ : 1+...+63 = 32*63 = 2016 < 2018 < 1+...+63+64 Cela prouve l'existence de pk jusqu'à k=63.

Q₂ :

p3 = 1344 (1344+672+2) p4 = 1152 (1152+576+288+2) p5 = 990 (990+495+330+198+5) p6 = 9129(12+456+304+228+114+4) p7 = 840 (840+420+280+210+168+70+30) p8 = 816 (816+408+272+204+136+102+68+12) p9 = 780 (780+390+260+195+156+130+65+39+3)

Q₃ :

(10) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+72+12 (11) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+72+8+4 (12) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+72+5+4+3 (13) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+72+5+4+2+1 (14) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+60+12+5+4+2+1 (15) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+45+15+12+5+4+2+1 (16) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+36+15+12+9+5+4+2+1 (17) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+30+15+12+9+6+5+4+2+1 (18) 2018 = 720+360+240+180+144+120+90+80+20+15+12+10+9+6+5+4+2+1 (19) 2018 = 720+360+240+180+144+120+80+72+20+18+15+12+10+9+6+5+4+2+1 (20) 2018 = 720+360+240+180+144+120+80+48+24+20+18+15+12+10+9+6+5+4+2+1 (21) 2018 = 720+360+240+180+144+120+80+45+24+20+18+15+12+10+9+6+5+4+3+2+1 (22) 2018 = 720+360+240+180+144+120+72+45+24+20+18+15+12+10+9+8+6+5+4+3+2+1

(2)

(23) 2018 = 720+360+240+180+144+90+72+45+30+24+20+18+15+12+10+9+8+6+5+4+3+2+1 (24) 2018 = 720+360+240+144+120+90+72+48+45+36+24+20+18+16+15+12+9+8+6+5+4+3+2+1 (25) 2018 = 720+360+240+144+120+80+72+48+45+36+24+20+18+16+15+12+10+9+8+6+5+4+3+2+1 (26) 2018 = 720+360+240+144+90+80+72+48+45+36+30+24+20+18+16+15+12+10+9+8+6+5+4+3+2+1 (27) 2018 = 720+360+180+144+90+80+72+60+48+45+36+30+24+20+18+16+15+12+10+9+8+6+5+4+3+2+1 (28) 2018 = 720+240+180+144+120+90+80+72+60+48+45+36+30+24+20+18+16+15+12+10+9+8+6+5+4+3+2+1

Q₄ :

p63 = lcm(1...61) (1+...+61+62+65)

p63 = 2^5*3^3*5^2*7^2*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61 p63 = 591133442051411133755680800

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