Partie II. Plus petit commun multiple des premiers entiers

MPSI B Année 2018-2019. DS 6 le 01/02/19 24 avril 2020

Exercice 1

Soitn un entier non nul. On se propose de décomposer en éléments simples dansC[X] puis dansR[X]la fraction rationnelle

F = 1 (Xⁿ−1)².

1. Préciser les pôles deF. La partie polaire de F relative au pôleuest notée

α(u)

(X−u)² + β(u) X−u

Comment s'écrit la décomposition en éléments simples deF dansC(X)?

2. Soitk un entier entre1 et n. Former des développements limités à l'ordre1 en1 des fonctions suivantes

x^k, 1 +x+x²+· · ·+xⁿ⁻¹, 1 +x+x²+· · ·+xⁿ⁻¹−2

.

3. Pour un pôleuautre que1, exprimerα(u)en fonction deuet α(1), exprimerβ(u)en fonction deuetβ(1).

4. a. Montrer que, au voisinage de1, 1

(1 +x+x²+· · ·+xⁿ⁻¹)² =α(1) +β(1)(x−1) +o(x−1).

En déduire la partie polaire deF relative au pôle 1.

b. Former la décomposition en éléments simples deF dansC(X). 5. On notew=e^2iπn .

a. Soitk∈ {1,2,· · ·, n−1}, préciserk⁰ ∈ {1,2,· · · , n−1} tel que w^k=w^k0

b. En distinguantn pair etnimpair, factoriserXⁿ−1 en polynômes irréductibles deR[X].

c. En distinguantnpair etnimpair, décomposerF en éléments simples deR(X).

Exercice 2

Pour tout entier natureln, on dénit le polynômeQ_n à coecient complexes par¹ : Qn= 1

2i (X+i)ⁿ⁺¹−(X−i)ⁿ⁺¹ .

1. a. Déterminer le degré deQn et son coecient dominant.

b. Quel est le polynôme obtenu en substituant−X àX dansQn? Que peut-on en déduire pour l'ensemble des racines deQn?

2. Soitr∈N^∗et p∈J0, rK. Préciser le coecient deX^2r−2pdansQ2r puis un polynôme Sr∈R[X]permettant d'écrire

Q2r=cSr(X²).

Le chapeau traduit la substitution deX parX² dansSr.

3. En utilisant l'ensembleUn+1 des racinesn+ 1-ièmes de l'unité, déterminer les racines deQn dansC. En déduire la décomposition deQn en facteurs irréductibles deR[X]. 4. Soitr∈N^∗. Prouver les égalités suivantes :

r

X

k=1

cotan kπ 2r+ 1

²

=r(2r−1)

3 ,

r

X

k=1

1

sin_2r+1^{kπ 2} = 2r(r+ 1)

3 .

5. Établir les inégalités

∀x∈i 0,π

2 h

: (cotanx)²≤ 1

x² ≤ 1 (sinx)².

6. Soitr∈N^∗. Déduire de la question précédente un encadrement de

r

X

k=1

1 kπ 2r+1

².

7. Pour tout entier naturel non nuln, on poseSn =Pn k=1

1

k². Montrer la convergence de (Sn)_n∈N^∗ et préciser sa limite.

1pour les origines de cette idée, voir le chapitre de Raisonnements divins de M. Aigner et G.M. Ziegler (Springer)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1806E

MPSI B Année 2018-2019. DS 6 le 01/02/19 24 avril 2020

Problème

L'objet de ce problème²est de prouver une inégalité de Chebychev portant sur le nombre (notéπ(n)) d'entiers premiers plus petits qu'un entiern.

Partie I. Intégrale de Nair

Pour tous entiers naturels non nulsmet ntels quem≤n, on pose I(m, n) =

Z 1

0

x^m−1(1−x)^n−mdx

1. Montrer que

I(m, n) =

n−m

X

j=0

(−1)^j m+j

n−m j

2. a. Soitm < n, montrer quemI(m, n) = (n−m)I(m+ 1, n). b. CalculerI(1, n).

c. Montrer quem _mⁿ

I(m, n) = 1.

3. Dans cette question, on veut retrouver de manière indépendante le résultat de 2.c.

a. Montrer que, pour touty∈[0,1[,

n

X

m=1

n−1 m−1

I(m, n)y^m−1= 1

n 1 +y+· · ·+yⁿ⁻¹

b. En déduire le résultat cherché.

Partie II. Plus petit commun multiple des premiers entiers

Pour tout nombre naturel non nuln, on noted_n le plus petit des multiples communs à tous les entiers entre1et n.

1. Calculerd_n pournentre1et 9. 2. Soitmetndes entiers tels quem≤n.

a. Montrer quednI(m, n)∈Z.

2d'après Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres G. Tenenbaum (Pub. Institut Elie Cartan) p11 et On Chebyschev-type inequalities for prime M. Nair (Am. Math. Month. 89, no 2, 126-129)

b. Montrer quem _mⁿ

divisedn.

3. Soitmun entier naturel non nul, montrer que chacun des nombres suivants m

2m m

, (m+ 1)

2m+ 1 m+ 1

, (2m+ 1) 2m

m

, m(2m+ 1) 2m

m

divised2m+1.

4. Soitm∈N^∗, en considérant(1 + 1)^2m, montrer quem2^2m≤d2m+1

Partie III. Une inégalité de Chebychev

1. a. En distinguant les cas où nest pair ou impair, montrer que d_n ≥2ⁿ pour tous les entiersntels quen≥9.

b. Déterminer tous les entiersnpour lesquelsd_n≥2ⁿ.

2. a. Soitnun naturel non nul et pun diviseur premier ded_n. L'exposant de pdans la décomposition ded_n en facteurs premiers est notéα_p. Montrer qu'il existe un entierm_pcompris entre1etntel queα_psoit l'exposant depdans la décomposition demp en facteurs premiers.

b. Montrer qued_n ≤n^π(n).

3. a. Montrer que, pour tous les entiersn≥9, π(n)≥ln 2 n

lnn

b. Déterminer tous les entiersnpour lesquels l'inégalité précédente est vraie.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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