Mécanique 4A OMI3 Automne 2015
Examen complémentaire du 8 juillet 2016
Durée : 1,5 heure(s)
Documents autorisés: OUI NON Polycopiés de l’UE, notes manuscrites. Livres interdits Calculatrice autorisée: OUI NON Tout type
Exercice 1.
Calculer les logarithmes complexes des nombres complexes suivants : z= 1 +i,
z= 1, z= 1−i,
z=−1 +εi, où ε∈R+∗, z=−1−εi, où ε∈R+∗, z=−1 +i,
z=−1−i.
Exercice 2.
(1) On considère l’intégrale complexe suivante : I =
γ
dz
z (1)
où γ est le segment[1,1 +i].
(a) En considérant un paramétrage simple de ce segment, exprimerI en fonction de I=
1
0
dt
1 +it (2)
(b) Calculer les primitives des parties réelles et imaginaires de I et en déduire que I = 1
2ln 2 +iπ
4. (3)
1/3
2/3
(c) Retrouver ce résultat plus rapidement, en utilisant une primitive de 1/z.
(2) Refaire rapidement tous les calculs de la question 1 en considérant cette fois-ci le segment [1−i,1 +i].
(3) (a) On admet qu’en faisant des calculs identiques à ceux de la question 1a-1b, sur le segment [−1−i,−1 +i], on aurait cette fois-ci :
I =
[−1−i,−1+i]
dz z =i
1
−1
1
−1 +itdt=−iπ
2 . (4)
Montrer qu’en utilisant la méthode de la question 1c, on ne tombe plus sur ce résultat ! (b) Question facultative
Pourquoi ?
(c) Question facultative
Comment remédier à cela pour retrouver le résultat (4) en utilisant une primitive de1/z? Exercice 3.
Considérer
• La fonction f définie sur Cpar
f(z) = z z4+ 1;
• Le chemin définit par la réunion successive du segment [0A] où O est l’origine, A le point d’affixe R, le quart de cercle de centre O, de rayonR et inscrit dans le quart de plan x≥0ety ≥0 et du segment [B0]où B le point d’affixe iR;
• La formule des résidus ;
pour calculer l’intégraleI définie par
I =
+∞
0
x x4+ 1dx.
Exercice 4.
L
L/2 F
Figure 1. La poutre étudiée.
On étudie la flexion simple de la poutre représentée en figure 1, soumise à une force ponctuelle F appliquée en son milieu. Pour simplifier, on supposera pour toute la suite que
F = 1, L= 1, EI = 1. Les équations de la résistance des matériaux non montrent que
v(4) =δ1/2, (5)
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avec les conditions aux limites
v(0) = 0, (6a)
v(0) = 0, (6b)
v(2)(0) = 0, (6c)
v(3)(0) = 0 (6d)
On cherche une fonction v, de classe C2, trois fois dérivable sur [0,1] et vérifiant (5) au sens des distributions et (6). Notons Ω1 =]0,1/2[etΩ2=]1/2,1[, puisv1 etv2 les restrictions respectives dev à[0,1/2] et[1/2,1].
(1) Montrer que, dansD(Ω1)(resp. D(Ω2)), la distribution v1(4) (resp. v2(4)) est nulle.
(2) On admet quev1 (resp.v2) est de classeC∞ sur[0,1/2](resp. [1/2,1]).
(a) Pourquoi peut-on écrire
v1(x) =ax3+bx2+cx+d, (7a)
v1(x) =ex3+gx2+gx+h, (7b)
oùa, ...,h sont des réels ?
(b) Montrer que les équations (5) et (6) sont équivalentes à
v1(0) = 0, (8a)
v1(0) = 0, (8b)
v2(2)(1) = 0, (8c)
v2(3)(1) = 0, (8d)
v1(1/2) =v2(1/2), (8e)
v1(1/2) =v2(1/2), (8f)
v1(2)(1/2) =v(2)2 (1/2), (8g) v2(3)(1/2)−v1(3)(1/2) = 1. (8h) (c) Montrer que les équations (8) sont équivalentes à un système de huit équations à huit
inconnues.
(d) Résoudre ce système et conclure.
Corrigé
Un corrigé sera disponible surhttp://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/index.html
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