Universit´e Paris 7 Ann´ee 2003/2004
DEUG MIAS et MASS MT231
Examen du 23 janvier 2004 Dur´ee : 3 heures. Bar`eme : 5, 4, 6, 5.
Les questions III,5 et IV,6 sont hors bar`eme.
I
Soitaun param`etre r´eel. Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice, dans la base canonique (e1, e2, e3), est
M =
1 −1 2 3 −3 6 a −1 2
.
1- Montrer que le rang de f est au plus ´egal `a 2. En d´eduire que 0 est une valeur propre def. 2- Trouver les valeurs dea∈Rpour lesquellesf est diagonalisable.
3- On suppose d´esormais quea= 1. Soitv2 =f(e3).
a) Montrer quev2 ∈kerf.
b) Montrer que kerf contient un vecteur v1 non proportionnel `a v2. c) Montrer que (v1, v2, e3) est une base de R3.
d) ´Ecrire la matrice de f dans la base (v1, v2, e3).
II
R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant :
x0= 2x +y +2z y0 = −2x −y −4z z0 = x +y +3z
.
III
On consid`ere la suite (an)n≥0 d´efinie par la r´ecurrence :
a1=a0 = 1 , (S) (n+ 1)an+1 =an+an−1 ,∀n∈N∗.
1- Montrer que|an| ≤1 pour toutn∈N.Indication : on ´etablira par r´ecurrence la propri´et´ePn suivante, pour tout n≥1 :
(Pn) |an| ≤1 et |an−1| ≤1.
2- Montrer que la s´erie enti`ereP
anxna un rayon de convergence R sup´erieur ou ´egal `a 1.
3- Soit f :]−R, R[→ R la fonction d´efinie par f(x) =
∞
X
n=0
anxn. En utilisant la relation (S), montrer que f est une solution de l’´equation diff´erentielle
(E) y0(x)−(x+ 1)y(x) = 0.
4- Calculer toutes les solutions de (E). En d´eduire que f est, sur l’intervalle ]−R, R[, l’unique solution de (E) telle que f(0) = 1. Exprimerf comme une fonction usuelle.
5- D´eterminer la valeur exacte deR et d´emontrer que
an= X
k≥0,l≥0,k+2l=n
1
k! 2ll! ,∀n∈N.
6- R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y0(x)−(x+ 1)y(x) =ex2/2.
IV
Notation : siA est un sous-ensemble deR, on noteR\A={x∈R : x6∈A}.
On consid`ere les suites de fonctions (fn)n≥1 et (gn)n≥0 d´efinies par : fn(x) = 1
(x−n)2 ∀x∈R\N∗, gn(x) = 1
(x+n)2 ∀x∈R\Z−, et les s´eries de fonctions
∞
X
n=1
fn et
∞
X
n=0
gn. On notera f(x) = P∞
n=1fn(x) etg(x) = P∞
n=0gn(x) les sommes de ces s´eries, pour les valeurs de x pour lesquelles elles convergent.
1- D´emontrer que la s´erie P∞
n=1fn converge simplement sur R\N∗ et que la s´erie P∞ n=0gn converge simplement surR\Z−.
2- Exprimer, pour x∈R\Z,f(x+ 1) en fonction def(x) et g(x+ 1) en fonction deg(x).
3- On consid`ere la fonction p:R\Z−→Rd´efinie par p(x) =f(x) +g(x). Que peut-on dire de p(x+ 1)−p(x) ?
4- D´emontrer que, pour toutε >0, la s´erie P∞
n=1fn converge normalement sur ]− ∞,1−ε] et la s´erie P∞
n=0gn converge normalement sur [ε,∞[.
5- D´emontrer quef est continue sur ]− ∞,1[ et queg est continue sur ]0,∞[.
6- Montrer quep est continue sur ]0,1[. En d´eduire quep est continue sur R\Z.
