3) Montrer que l’ordre de la m´ethode est ´egal `a 2

Universit´e P. et M. Curie Sylvie Delabri`ere Licence de Math´ematique Equations diff´erentielles Ann´ee 2004-2005 M´ethodes de r´esolution num´erique LM 383 Partiel du 16 Avril 2005

(sans document ni calculette) (Les probl`emes I et II sont ind´ependants)

I

Soit f une fonction de classe C³, d´efinie sur [0,3] et `a valeurs r´eelles.

1) D´eterminer le polynˆome d’interpolation d’ordre 2 de f, p2, qui prend les mˆeme valeurs que f en u= 0,1,3.

2)D´eterminer la m´ethode de quadrature ´el´ementaire obtenue en rempla¸cant l’int´egrale de f sur [0,3] par celle de p2.

3) Montrer que l’ordre de la m´ethode est ´egal `a 2.

4) a) Calculer le noyau de Peano K(t), t ∈ [0,3] de la m´ethode et montrer qu’il garde un signe constant sur [0,3].

b) Donner l’expression de l’erreur ´el´ementaire E(f) de la m´ethode sur l’in- tervalle [0,3].

5) a) Par un changement de variable, montrer que E(u→u³)

3⁴ = E^′(v →v³) 2⁴

o`u E^′ d´esigne l’erreur de la m´ethode sur l’intervalle [−1,+1].

b) En d´eduire l’erreur compos´ee de la m´ethode pr´ec´edente sur un intervalle quelconque [a, b] en appliquant un r´esultat du cours.

II

(Les questions de ce probl`eme sont largement ind´ependantes) On consid`ere la fonction ϕ, d´efinie surR et `a valeurs r´eelles, d´efinie par :

ϕ(x) =x²+c o`u cest un param`etre r´eel.

1)Montrer que la fonction ϕ admet des points fixes si et seulement si c≤ 1 4. Dans toute la suite du probl`eme, on suppose que c≤ 1

4. 2) On consid`ere le cas o`u c= 1

4. 1

a) Repr´esenter graphiquement la fonctionϕ et d´eterminer ses points fixes.

b) Montrer que la suite r´ecurrente d´efinie par x0 et par x_p+1 = ϕ(xp) pour p∈N, converge si et seulement si x0 ∈[−1

2,1 2].

3) On consid`ere le cas o`u c < 1 4.

a) Repr´esenter graphiquement la fonction ϕ et, `a partir de la d´eriv´ee de ϕ, d´eterminer la nature des points fixes de ϕ.

(On distinguera les cas c <−3

4, c=−3

4 etc >−3 4)

b) On note a1 le plus grand point fixe de ϕ eta2 l’autre point fixe. Montrer que si x0 6∈ [−a1,+a1], la suite r´ecurrente d´efinie par x0 et pour p ∈ N par x_p+1 =ϕ(xp) est croissante et tend vers +∞ lorsque p→ +∞.

c) Montrer que ϕ([−a1,+a1])⊂[−a1,+a1] si et seulement si c≥ −2.

d) D´eduire de c) que si c ≥ −2 et si x0 ∈ [−a1,+a1], la suite r´ecurrente d´efinie en 2)b) est born´ee.

4) On consid`ere c ∈]− 3 4,1

4[. Montrer que a2 ∈] − 1 2,1

2[ et que la suite r´ecurrente converge pour tout x0 ∈]− 1

2,1

2[ vers a2. 5) On consid`ere le cas o`u c=−3

4. Calculer a1 eta2 et montrer que la suite r´ecurrente converge pour tout x0 ∈[−1

2,1 2].

(On utilisera la question 3)d)) 6) On consid`ere c∈[−2,−3

4[.

a)Montrer que, quel que soit le point de d´epartx0, diff´erent des points fixes de ϕ, la suite r´ecurrente ne converge pas .

b)Montrer que la fonctionϕ^◦ϕadmet, outre les points fixesa1, a2, des points fixes suppl´ementaires b1, b2.

c) D´eterminer les valeurs dec pour lesquels ces points fixes sont attractifs.

7) On se place dans le cas o`uc∈]−5 4,−3

4[.

a) Montrer que ϕ(b1) =b2 etϕ(b2) =b1.

b) Montrez qu’il existe un voisinage V de b1 tel que la suite r´ecurrente (xp)p∈N, avec x0 ∈ V est telle que la sous suite (x2p)p∈N converge vers b1

et la sous suite (x2p+1)p∈N converge vers b2.

c) Montrer que cette propri´et´e est vraie pour x0 = 0.

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