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2) Montrer que cette m´ethode est consistante d’ordre 2

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Academic year: 2022

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Feuille 8 d’Analyse Num´erique

Exercice 1 On veut r´esoudre num´eriquement l’´equation diff´erentielle dx

dt =f(x(t)), pour t∈[0, 1], x(0) =x0∈R,

o`u f ∈C(R) avecf born´ee surR. On prend pour cela la discr´etisation suivante pour approcher dx/dt(k/n)

n

2 (yn(k+ 1)−yn(k−1)).

En k= 0 on prend simplementn(yn(1)−yn(0)).

1) ´Ecrire les relations d´efinissant la suiteyn(k) pourkentre 0 etn.

2) Montrer que cette m´ethode est consistante d’ordre 2.

3) Prouver que

|yn(k)−x0| ≤ k nkfk.

4) On suppose qu’il existe une solution x(t) ∈ C2([0, 1]) `a l’´equation. On note ek =|yn(k)−x(k/n)|l’erreur ; v´erifier que

ek+1≤ek−1+ 2

nf(yn(k))−

Z (k+1)/n

(k−1)/n

f(x(t))dt .

5) Faire un d´eveloppement de Taylor `a l’ordre 2 et en d´eduire qu’il existe une constanteC telle que

ek+1≤ek−1+ C n3. 6) Conclure que la m´ethode converge `a l’ordre 2.

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