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L 323 GÉOMÉTRIE AFFINE ET EUCLIDIENNE
EXAMEN DU 10 JANVIER 2007
Exercice no1
Soit E une ellipse de centre O, de foyers F1 et F2 et d'axes 2a et 2b. Par un point M extérieur à E, il passe deux tangentes T et T0 touchant E respectivement en G et G0.
1) Soit H et H0 les symétriques de F1 par rapport à T et T0. Montrer que F2H = F2H0 = 2a.
2) Montrer que la droite MF2 est la médiatrice du segment HH0. 3) Montrer que 2 !
MF2; ! MH
= 2 !
MG0; ! MG
.
4) Montrer que le lieu des points M tels que T ? T0 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice no2
Soit E un espace euclidien de dimension 3. Soit ABC et A0B0C0 deux triangles et a; b; c trois réels.
On suppose AB = A0B0 = c; BC = B0C0 = a et CA = C0A0 = b.
1) Soit (ei)1id une base d'un espace vectoriel euclidien E. Montrer qu'une application linéaire est une isométrie ssi 8 1 i; j d; (ei) (ej) = ei ej.
2) Montrer que !AB ^AC = !! A0B0 ^ ! A0C0.
3) Soit f une isométrie telle que f(A) = A0; f(B) = B0 et f(C) = C0. Montrer que
!f AB ^! AC!
= ( !
A0B0^ ! A0C0
.
4) Montrer qu'il existe une isométrie positive g unique telle que g(A) = A0; g(B) = B0 et g(C) = C0. 5) Soit f une rotation ou un vissage d'axe D et la projection orthogonale sur D. Montrer que
! !
f Id
= 0 et en déduire que le vecteur ! (M) f(M)
est indépendant de M 2 E.
6) Montrer que si g, l'isométrie dénie en 4), est une rotation alors ! AA0; !
BB0 et !
CC0 sont liés.
7) On suppose que ! AA0; !
BB0 et !
CC0 sont libres. Montrer que l'isométrie g dénie en 4) est un vissage et exprimer son vecteur en fonction de !
AA0; ! BB0; !
CC0 et de U = !
AA0 ! BB0
^ !
AA0 ! CC0
.
