Universit´e de Nice Sophia-Antipolis Compl´ements d’alg`ebre Dur´ee : 2 h
QCM
1 point par bonne r´eponse
Pas de points n´egatifs si mauvaise r´eponse Les 20 questions sont ind´ependantes
1. Le nombre de g´en´erateurs du groupe (Z/60Z,+) est ´egal `a (a) 1
(b) 6 (c) 16 (d) 59 (e) 60
2. Le nombre d’´el´ements d’ordre 2 du groupeZ/4Z×Z/5Z×Z est ´egal `a (a) 0
(b) 1 (c) 2 (d) 4 (e) ∞
3. L’ordre de la classe 2 dans le groupe ((Z/19Z)∗,·) est ´egal `a (a) 2
(b) 3 (c) 6 (d) 18
(e) 19
4. On consid`ere l’homomorphisme de groupe f : Z/35Z → Z/35Z d´efini par f(x) = 5·x.
Alors l’ordre de l’image im(f) est ´egal `a (a) 0
(b) 1 (c) 5 (d) 7 (e) 35
5. Parmi les 5 sous-ensembles suivants de ((Z/12Z)∗,·) lequel n’est pas un sous-groupe ? (a) {1}
(b) {1,11}
(c) {1,5}
(d) {1,7}
(e) {17,19}
6. Le th´eor`eme des restes chinois affirme qu’on a un isomorphisme d’anneaux Φ : (Z/1001Z)→(Z/7Z)×(Z/11Z)×(Z/13Z).
L’image Φ(2020) est ´egale `a (a) (2,0,20)
(b) (4,2,11) (c) (4,7,5) (d) (5,8,6) (e) (4,8,6)
7. Le nombre 21001+ 1 est (a) premier
(b) divisible par 5 (c) divisible par 7 (d) divisible par 213+ 1
(e) divisible par 21000+ 1
8. Soit R[X] l’anneau des polynˆomes en une variableX `a coefficients r´eels. On consid`ere le sous-ensemble, not´e R[X2], des polynˆomes P(X) qui s’´ecrivent P(X) = Q(X2) pour un certain polynˆome Q(X)∈R[X]. Alors
(a) R[X2] est un id´eal de R[X]
(b) R[X2] est un R-espace vectoriel de dimension 2 (c) R[X2] est un corps
(d) (1 +X)2 ∈R[X2]
(e) R[X2] est un sous-anneau de R[X]
9. Le rang de la forme quadratique q:R4 →R donn´ee par
q(x1, x2, x3, x4) = (x1+x4)2 + 2x22−3x23 est ´egal `a
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
10. La fonction f :R→R d´efinie par
f(x) =
1 x x2 x 1 x2 x2 x 1
(a) est une fonction polynomiale de degr´e 5 (b) est une fonction polynomiale de degr´e 3
(c) est une forme quadratique (d) v´erifief(1) = 1
(e) s’annule pour tout x≥0
11. Soient a, b, c∈R. Le d´eterminant
1 +a a a
b 1 +b b
c c 1 +c
est nul quand
(a) a= 0 et pour tout b, c (b) a=b =c= 1
(c) a=b et pour tout c (d) a=−b et pour tout c
(e) a+b+c=−1
12. La signature de la forme quadratique q :R4 →R donn´ee par q(x1, x2, x3, x4) =x21−3x22−x24 est ´egale `a
(a) (2,1) (b) (0,2) (c) (1,2) (d) (2,2) (e) (1,3)
13. On consid`ere la permutation σ ∈ S5 donn´ee par
σ= (1423)(25)(143).
Alorsσ est ´egal au cycle (a) (12543)
(b) (1453) (c) (12345) (d) (1423)
(e) (12534)
14. Parmi les applications suivantes f : R2×R2 →R laquelle n’est pas bilin´eaire ? On note x1, x2 les coordonn´ees sur le premier facteurR2 et y1, y2 sur le deuxi`eme facteur R2
(a) f(x1, x2, y1, y2) =x1y1
(b) f(x1, x2, y1, y2) =x1y1+x2y2 (c) f(x1, x2, y1, y2) =x1y1−x2y2 (d) f(x1, x2, y1, y2) =x1y2+x2y1
(e) f(x1, x2, y1, y2) =x1+y1
15. Le nombre de permutations d’ordre 2 de S4 est ´egal `a (a) 2
(b) 6 (c) 9 (d) 10
(e) 12
16. Parmi les assertions suivantes une seule est fausse. Laquelle ? (a) Le groupe sym´etrique Sn n’est pas ab´elien sin ≥3 (b) Le centre deSn est ´egal `a {Id} si n≥3
(c) Le groupe altern´eAn est engendr´e par les cycles de longueur 3
(d) L’ensemble des permutations σ∈ Sn d’ordre 2 est un sous-groupe de Sn
(e) Le groupe Sn est engendr´e par les transpositions
17. Le nombre d’entiers x compris entre 0 et 100 et qui v´erifient les 2 congruences x≡3 mod 7 et x≡4 mod 5
est ´egal `a (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
18. Soit ϕ(n) la fonction d’Euler. Parmi les formules et affirmations suivantes une seule est fausse. Laquelle ?
(a) ϕ(n) = |(Z/nZ)∗|
(b) ϕ(pa) =pa−pa−1 si ppremier et a∈N∗ (c) ϕ(n) = n−1 si et seulement n premier (d) ϕ(n) divise n pour tout entier n
(e) ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) si P GCD(n, m) = 1
19. Parmi les ensembles munis de 2 op´erations suivants lequel est un corps ? (a) (Z,+,·)
(b) (R[X],+,·) (c) (Z/19Z,+,·)
(d) ({z ∈C | Re(z)∈Q et Im(z)∈Q},+,·)
(e) (Z[i] ={a+bi |a ∈Zet b∈Z},+,·), o`ui∈C avec i2 =−1
20. Trouver dans la liste ci-dessous un anneau isomorphe `a (Z/12Z)×(Z/14Z) (a) (Z/13Z)2
(b) (Z/8Z)×(Z/21Z) (c) (Z/7Z)×(Z/24Z) (d) Z/26Z
(e) (Z/6Z)×(Z/28Z)
