Chapitre 3 M´ethode de d´etermination des P A

M´ ethode de d´ etermination des P A _host

Nous pr´ esentons la m´ ethode employ´ ee afin de d´ eterminer les orientations de galaxies hˆ otes de quasars pour l’´ echantillon que nous avons compil´ e ` a par- tir d’images pr´ esentes dans les archives HST et pour lesquelles ce travail n’a pas encore ´ et´ e effectu´ e ou publi´ e. Au total nous avons d´ etermin´ e P A _host pour 70 objets pour lesquels des mesures de polarisation lin´ eaire sont disponibles dans la litt´ erature.

La m´ ethode utilis´ ee en vue de mod´ eliser la galaxie hˆ ote de chaque objet d´ etaill´ e dans notre article fait appel ` a la m´ ethode de d´ econvolution MCS (Ma- gain, Courbin & Sohy [1998]). En effet, mˆ eme si dans certains cas l’orientation de la galaxie hˆ ote est ´ evidente ` a la seule observation des images obtenues par le HST, il s’av` ere que dans bon nombre de cas il est relativement difficile de distinguer la galaxie hˆ ote se situant sous la source centrale ponctuelle, dont la lumi` ere est ´ etal´ ee par le profil instrumental (PSF). L’utilisation de m´ ethodes num´ eriques sophistiqu´ ees permet d’effectuer une s´ eparation propre entre la contribution de la source centrale et celle de la galaxie hˆ ote et, en g´ en´ eral, de r´ ev´ eler le faible ´ eclat de cette derni` ere.

Nous esquissons premi` erement les principes de base de la m´ ethode MCS ainsi que de son extension ` a la mod´ elisation de galaxies hˆ otes de quasars.

Nous ne rentrerons pas sp´ ecialement dans les d´ etails pratiques de la m´ ethode (construction de la PSF, r´ eduction des images, ...) mais insisterons unique- ment sur la mani` ere de d´ eterminer le P A _host en partant d’images brutes pr´ esentes dans l’archive HST.

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38 CHAPITRE 3. ORIENTATION DE GALAXIE H ˆ OTES

3.1 La m´ ethode MCS : Pr´ esentation g´ en´ erale

Lorsque la lumi` ere d’une ´ etoile traverse un t´ elescope spatial, celle-ci est diffract´ ee et alt´ er´ ee par ses passages sur les diff´ erentes pi` eces optiques ¹ . Ainsi, une ´ etoile, qui poss` ede en g´ en´ eral un aspect ponctuel vu son ´ eloignement (diam` etre angulaire << 0.001”), apparaˆıtra dans le plan focal du t´ elescope, non pas comme un point, mais comme une tache, plus ou moins structur´ ee et ´ etendue. La r´ esolution du t´ elescope est donc moindre que dans le cas d’un t´ elescope de diam` etre infini et parfait dans lequel l’image de cette ´ etoile serait ponctuelle.

On peut toutefois am´ eliorer la r´ esolution des observations r´ ealis´ ees en uti- lisant des traitements num´ eriques adapt´ es, comme les m´ ethodes de d´ econvo- lution d’images. En effet, toute image d( − → x ) observ´ ee ` a l’aide d’un instrument de PSF ² totale t( − → x ) peut s’exprimer de la fa¸con suivante :

d( − → x ) = t( − → x ) ? f ( − → x ) + n( − → x ) (3.1) o` u − → x est un vecteur permettant de rep´ erer chaque point de l’image, f ( − → x ) est la distribution originale de lumi` ere, n( − → x ) l’in´ evitable bruit affectant les donn´ ees et ? symbolise le produit de convolution. Le but de la d´ econvolution est de retrouver l’image de r´ esolution infinie f ( − → x ) connaissant t( − → x ) et d( − → x ).

Afin de d´ eterminer une solution f ( − → x ) au probl` eme pos´ e ci-dessus, nous utilisons la m´ ethode MCS (Magain, Courbin & Sohy [1998]). Cette m´ ethode permet de s’affranchir d’un certain nombre de probl` emes inh´ erents ` a d’autres algorithmes de d´ econvolution en partant du fait qu’il n’est pas r´ ealiste d’ob- tenir une image f( − → x ) de r´ esolution infinie apr` es d´ econvolution sans violer le th´ eor` eme d’´ echantillonnage de Shannon. En effet, les images habituelle- ment observ´ ees sont ´ echantillonn´ ees par des capteurs CCD en des inter- valles de surface d´ efinies ∆x × ∆x (ce sont les pixels du capteur CCD).

Le th´ eor` eme de Shannon nous dit ainsi qu’il n’est pas permis d’obtenir dans l’image d´ econvolu´ ee des fr´ equences spatiales plus grandes que la fr´ equence critique de Nyquist = (2∆x) ⁻¹ .

Ainsi, en pratique, l’image d’une source ponctuelle dans l’image d´ econvo- lu´ ee ne pourra poss´ eder une largeur ` a mi-hauteur (FWHM) inf´ erieure ` a 2 pixels afin d’ˆ etre en accord avec le th´ eor` eme de Shannon. Dans la m´ ethode MCS, la r´ esolution de l’image d´ econvolu´ ee est fix´ ee par l’utilisateur en vue de respecter cette contrainte. Ainsi nous choisissons que la FWHM de la source ponctuelle d´ econvolu´ ee r( − → x ) soit de deux pixels.

1

Nous ne consid´ ererons pas le cas de l’alt´ eration du signal par le passage dans l’at- mosph` ere terrestre (seeing), pour la simple raison que les images que nous avons mod´ elis´ ees ont ´ et´ e observ´ ees ` a l’aide du HST, qui est un t´ elescope spatial.

2

PSF pour “Point Spread Function” : image d’une source ponctuelle sur le d´ etecteur.

Fig. 3.1 – Cette figure illustre la puissance des techniques de d´ econvolution per- mettant d’am´ eliorer la r´ esolution des images astronomiques. L’image de gauche pr´ esente l’observation d’un amas compact d’´ etoiles situ´ e dans le petit nuage de Magellan obtenue ` a l’aide du t´ elescope de 2.2m de diam` etre de La Silla dont la FWHM est de 1.1 secondes d’arc. L’image de droite pr´ esente le r´ esultat de la d´ econvolution r´ ealis´ ee ` a l’aide de l’algorithme MCS, o` u la r´ esolution de l’image d´ econvolu´ ee est de 0.26 secondes d’arc, permettant ainsi de r´ esoudre individuelle- ment les ´ etoiles de l’amas. Source : Magain et al. [1998].

On ne d´ econvolue d` es lors plus l’image d( − → x ) par la PSF totale t( − → x ) mais par une fonction plus ´ etroite, s( − → x ) choisie telle que l’image d´ econvolu´ ee poss` ede une PSF r( − → x ) compatible avec le th´ eor` eme d’´ echantillonnage. On a

´ evidemment la relation :

t( − → x ) = r( − → x ) ? s( − → x ). (3.2) Un autre avantage de cette r´ esolution fix´ ee est la connaissance ` a priori de la PSF r( − → x ) de l’image d´ econvolu´ ee. Ainsi toute solution ` a l’Eq. (3.1) pourra s’´ ecrire :

f ( − → x ) = h( − → x ) +

M

X

k=1

a _k r( − → x − − → c _k ) (3.3) pour une image contenant M sources ponctuelles centr´ ees en − → c k et d’intensit´ e a _k et o` u h( − → x ) repr´ esente les objets non ponctuels de l’image (par exemple une galaxie hˆ ote). La m´ ethode revient ainsi ` a ajuster par l’interm´ ediaire d’une fonction de m´ erite s( − → x ) ? f( − → x ) aux donn´ ees d( − → x ) en jouant sur les param` etres − → c _k et a _k des sources.

Le fond h( − → x ), doit ´ egalement se soumettre ` a la mˆ eme contrainte que

l’image d´ econvolu´ ee f( − → x ), en ceci qu’il ne peut contenir de d´ etails plus fins

40 CHAPITRE 3. ORIENTATION DE GALAXIE H ˆ OTES que la r´ esolution impos´ ee. Un terme de lissage est introduit dans la m´ ethode MCS afin d’´ eliminer les variations dans le fond h( − → x ) plus petites que celles autoris´ ees par r( − → x ). Ainsi, dans le cas discr´ etis´ e d’une image carr´ ee de N ∗ N pixels, la solution recherch´ ee f( − → x ) est celle qui minimise la fonction S :

S =

N

X

i=1

1 σ _i ² [

N

X

j=1

s _ij (h _j +

M

X

k=1

a _k r(x _j − − → c _k )) − di] ² + λ

N

X

i=1

[h _i −

N

X

j=1

r _ij h _j ] ² (3.4) o` u la valeur du param` etre λ est choisie de mani` ere ` a avoir un accord statis- tique entre le mod` ele et les donn´ ees.

3.2 Construction des PSFs pour des observa- tions HST

Nous d´ ecrivons ici la proc´ edure g´ en´ erale permettant de produire la PSF s( − → x ) n´ ecessaire ` a la d´ econvolution (cf. Letawe [2006]) et illustr´ ee dans la Fig. 3.2. Afin de d´ eterminer la PSF s( − → x ) on se base sur l’Eq. (3.2), t( − → x )

´ etant l’image observ´ ee d’une ´ etoile dans les mˆ emes conditions que l’observa- tion du quasar (instrument, capteur, filtre, etc.), et r( − → x ) ´ etant typiquement repr´ esent´ ee par une gaussienne bidimensionnelle de FWHM choisie ´ egale ` a deux pixels, en vue de respecter le th´ eor` eme d’´ echantillonnage.

Dans le cas d’observations r´ ealis´ ees ` a l’aide du HST, le logiciel T inyT im (Krist & Hook [2001]) permet de mod´ eliser les trajets des rayons lumineux

`

a l’int´ erieur des diff´ erents instruments ` a bord du t´ elescope, nous fournissant une estimation analytique de la PSF, que l’on appellera T iny. Ce n’est pas cette T iny qui va nous servir de base ` a la construction de la PSF finale, mais l’image T inyDec, qui, convolu´ ee par la gaussienne de r´ esolution fix´ ee r( − → x ) s’approche au mieux de la T iny (c-` a-d T iny = T inyDec ? r). Dans le but d’effectuer ce premier ajustement, on utilise un algorithme de minimisation (cf. Eq. (3.7)) dont la mission est de mod´ eliser les r´ esidus K ( − → x ) :

K = T iny − T inyDec ? r. (3.5)

Cette T inyDec purement analytique va finalement ˆ etre ajust´ ee ` a l’´ etoile

ponctuelle observ´ ee t( − → x ), pr´ esentant une s´ erie de d´ etails plus fins, non mod´ e-

lis´ es par T inyT im, dus ` a des imperfections dans le syst` eme optique du

t´ elescope. Ces d´ etails fins sont g´ en´ eralement d’autant plus importants que

l’on se rapproche du centre de l’image. On proc` ede ainsi ` a une construction

par ´ etape, en ajoutant successivement du fond sur des sections de plus en

plus petites d’images centr´ ees sur la PSF tout en diminuant le lissage ap-

pliqu´ e. Cette proc´ edure permet de mod´ eliser les d´ etails proches du centre de

la PSF tout en ´ evitant de mod´ eliser le bruit de fond se situant loin du centre.

Pour la premi` ere ´ etape, les r´ esidus ` a mod´ eliser sont donc :

K ₁ = t − T inyDec ∗ r (3.6) o` u les r´ esidus sont mod´ elis´ es par l’image F ₁ (que l’on appelle aussi “fond ajout´ e”) qui permet de s’approcher de l’image t( − → x ). Ce fond ajout´ e est d´ etermin´ e par la minimisation de la relation suivante :

S = ^X 1

σ ² [F ? r − K ] ² + λ ^X [F − F ? r] ² . (3.7) Ainsi la PSF s( − → x ) construite par cette m´ ethode est la somme de la T inyDec et du fond ajout´ e F ₁ . On recommence ensuite le processus d´ ecrit ci-dessus successivement en imposant des valeurs du param` etre de lissage λ d´ ecroissantes sur des sections de l’image initiale de plus en plus petites. On obtient alors une relation it´ erative quant aux r´ esidus ` a mod´ eliser :

K _i = t − (F ₁ + ... + F i−1 + T inyDec ∗ r) (3.8) et la PSF finale associ´ ee s( − → x ) qui sera utilis´ ee lors de la mod´ elisation des images de quasars. Notons que cette ´ etape de cr´ eation de la PSF demande relativement beaucoup de temps, vu le processus it´ eratif utilis´ e (tout d´ epend des capacit´ es de l’ordinateur utilis´ e, de la taille des images et de l’exp´ erience acquise dans ce domaine par l’utilisateur).

3.3 L’ajustement d’un mod` ele de galaxie

Depuis sa publication en 1998, la m´ ethode MCS a connu (et connait toujours, c.f. Magain et al. [2007]) plusieurs raffinements, dont la possibilit´ e de d´ eterminer les param` etres morphologiques des galaxies hˆ otes de quasars par l’ajustement d’un profil analytique de galaxie sur les images observ´ ees.

Dans cette version de MCS, la solution f ( − → x ) (Eq. (3.3)) au probl` eme peut se r´ e´ ecrire comme suit :

f ( − → x ) = h( − → x ) +

M

X

k=1

a k r( − → x − − → c k ) + I( − → x ) (3.9) o` u I( − → x ) repr´ esente le profil analytique de la galaxie ` a ajuster. On utilise typiquement un profil dit de S´ ersic (S´ ersic [1968]) pour repr´ esenter les ga- laxies :

I(x, y) = I ₀ e ^−(Ax

^+By

^+Cxy)

(3.10)

42 CHAPITRE 3. ORIENTATION DE GALAXIE H ˆ OTES

Fig. 3.2 – Illustration du cheminement suivi afin d’obtenir la PSF utilis´ ee lors du processus de mod´ elisation des images de quasars obtenues ` a l’aide du HST. L’image A repr´ esente l’´ etoile observ´ ee t( − → x ) ` a l’aide du t´ elescope spatial dans une configura- tion instrumentale d´ efinie, identique ` a celle utilis´ ee lors de l’observation du quasar

`

a mod´ eliser. L’image B pr´ esente T inyDec : la PSF synth´ etique d´ econvolu´ ee par

r( − → x ), une gaussienne de FWHM = 2 pixels. L’image C pr´ esente les r´ esidus obte-

nus lors de l’ajustement de la T inyDec ` a l’´ etoile observ´ ee. On peut percevoir les

r´ egions (de formes carr´ ees) de plus en plus petites et centr´ ees sur l’´ etoile, utilis´ ees

lors de l’ajustement it´ eratif d´ ecrit dans le texte. Le but est d’obtenir les r´ esidus

les plus faibles possibles (valeur moyenne = 1) et pr´ esentant le moins de structure

appartenant ` a la PSF. L’image D pr´ esente finalement la PSF s( − → x ) obtenues apr` es

sept it´ erations. On constate l’apparition de d´ etails fins absents dans l’image B, dus

au fait que le logiciel T inyT im ne tient pas compte d’une s´ erie de d´ efauts pr´ esents

dans les instruments du HST.

o` u I <sub>0</sub> est l’intensit´ e centrale et α d´ ecrit la forme du profil. Le profil est dit de de V aucouleurs si α = 1/8 et d´ ecrit la distribution de lumi` ere des galaxies elliptiques. Lorsque α = 1/2, le profil est dit exponentiel et repr´ esente alors la distribution de lumi` ere du disque des galaxies spirales.

Un astucieux changement de coordonn´ ees permet de relier les param` etres A, B et C ajust´ es ` a des param` etres morphologiques plus parlant du point de vue physique, comme l’orientation du grand axe du mod` ele. On peut ainsi trouver les relations suivantes :

θ = 1

2 atan C

B − A , b/a = (A + B) cos(2θ) + A − B

(A + B) cos(2θ) − A + B (3.11) o` u θ repr´ esente l’orientation du grand axe du mod` ele analytique, et b/a le rapport entre le petit axe b et le grand axe a du mod` ele ajust´ e (dans la suite, nous appellerons ce param` etre l’ellipticit´ e du mod` ele).

3.4 La mod´ elisation des quasars en pratique

Le processus de mod´ elisation que nous avons employ´ e se d´ eroule en deux

´ etapes distinctes plutˆ ot qu’en une seule ´ etape o` u l’on tente d’ajuster ` a la fois les param` etres de la source centrale et de la galaxie hˆ ote (7 param` etres au total). Ce processus it´ eratif s’est av´ er´ e n´ ecessaire suite ` a divers probl` emes rencontr´ es lors des premiers tests de mod´ elisation, o` u l’on observait que le programme d’ajustement de profil avait tendance ` a creuser les r´ egions autour de la source, et o` u, selon les param` etres initiaux entr´ es par l’utilisateur, cette routine tentait de mod´ eliser une partie de la galaxie hˆ ote par la PSF centrale.

Cette m´ ethode particuli` ere (Y. Letawe, 2006, communication personnelle) consiste dans un premier temps ` a ajuster les param` etres (position et inten- sit´ e) de la source centrale manuellement afin de laisser apparaˆıtre la galaxie sous-jacente. La difficult´ e dans cette ´ etape revient ` a ´ evaluer correctement la contribution de la source ponctuelle centrale dans l’´ eclat total du qua- sar. Dans le cas d’images o` u les spikes <sup>3</sup> sont bien visibles, nous avons utilis´ e ceux-ci comme barom` etre de notre soustraction. Ainsi lorsque apr` es la sous- traction de la source centrale, les spikes disparaissaient en grande partie ⁴ , la soustraction ´ etait consid´ er´ ee comme correctement r´ ealis´ ee. Dans le cas des

3

Terme anglais utilis´ e pour d´ esigner la figure de diffraction provoqu´ ee par l’araign´ ee soutenant le miroir secondaire d’un telescope.

4

Il est relativement difficile de faire totalement disparaˆıtre les spikes d’une source en

utilisant une seule PSF pour plusieurs images d’une mˆ eme campagne. En effet, la forme et

la taille des spikes d´ epend de la position sur le capteur ainsi que de la distribution spectrale

d’´ energie de la source auquels s’ajoute ´ egalement le probl` eme du sous-´ echantillonnage.

44 CHAPITRE 3. ORIENTATION DE GALAXIE H ˆ OTES

Fig. 3.3 – Ces quatre images illustrent le processus de mod´ elisation suivi afin de d´ eterminer les param` etres morphologiques des galaxies hˆ otes de quasars. Tout commence ` a partir de l’image observ´ ee et r´ eduite (en haut ` a gauche), dont on soustrait le plus proprement possible la contribution de la source centrale (en haut

`

a droite). Sur cette image, on ajustera le mod` ele analytique de galaxie hˆ ote duquel

on d´ eduira les param` etres morphologiques. La derni` ere image repr´ esente les r´ esidus

obtenus apr` es soustraction de la source centrale et du mod` ele de galaxie hˆ ote.

quasars les plus faibles, dont les images ne pr´ esentaient en g´ en´ eral pas de spikes, nous avons employ´ e le mˆ eme crit` ere que celui propos´ e dans Marble et al. [2003] : L’amplitude de la PSF ` a soustraire doit ˆ etre suffisamment grande pour ˆ oter les figures d’Airy apparentes, tout en ´ etant assez faible pour ne pas introduire trop de valeurs n´ egatives dans l’image r´ esultante. Ce crit` ere em- pirique peut paraˆıtre bancal, mais il donne en g´ en´ eral d’assez bons r´ esultats, une fois que l’utilisateur a acquis un peu d’exp´ erience.

La seconde ´ etape consiste en l’ajustement du mod` ele de galaxie hˆ ote.

Elle utilise comme image de d´ epart l’image r´ esultant de la soustraction de la source ponctuelle. Cette image r´ esultante est construite de la fa¸con suivante : la m´ ethode MCS produit en sortie ce que l’on appelle un fichier de r´ esidus comprenant tout ce qui n’a pas ´ et´ e mod´ elis´ e lors du processus de soustraction de la source centrale :

RESIDU S = M ODELE − DON N EES

σ . (3.12)

Etant donn´ e que lors de la premi` ere ´ etape nous avons juste mod´ elis´ e la source centrale, il reste, notamment dans les r´ esidus produits, la galaxie hˆ ote.

Vu la d´ efinition des r´ esidus, il nous suffit de multiplier ceux-ci par −1/σ afin d’obtenir une image ayant les mˆ emes propri´ et´ es que l’image initiale observ´ ee par le HST, mais dont la source centrale (le terme M ODELE de l’Eq. (3.12)) a ´ et´ e soustraite. C’est sur cette image que l’on m` ene la deuxi` eme partie du proc´ ed´ e de mod´ elisation, dont le but consiste cette fois en l’ajustement des param` etres du mod` ele analytique de la galaxie. Une fois cette seconde ´ etape r´ ealis´ ee, nous obtenons les param` etres A, B et C du mod` ele analytique ajust´ e permettant de d´ eduire, ` a l’aide de la formule (3.11), les param` etres θ et b/a recherch´ es. La derni` ere ´ etape consiste ` a calculer le P A host ` a partir de l’angle θ et de l’orientation relative de l’image observ´ ee par rapport ` a une direction de r´ ef´ erence (r´ ealis´ e ` a l’aide du param` etre “ORIENTAT” pr´ esent dans le fichier descriptif des observations HST).

Insistons une fois de plus sur l’importance de r´ ealiser une bonne sous- traction de la source centrale avant de tenter de mod´ eliser la galaxie hˆ ote.

En effet, comme not´ e par McLeod et al. [2001] si la source centrale n’est pas correctement soustraite, et que les spikes contribuent toujours de fa¸con significative au flux observ´ e, la routine d’ajustement du mod` ele de galaxie aura tendance, ` a mod´ eliser la galaxie hˆ ote par un profil relativement ´ etir´ e afin de correspondre au mieux aux structures de la PSF restantes, conduisant

`

a des param` etres morphologiques fortement biais´ es. Cependant, comme nous

l’avons signal´ e ci-dessus, la structure des “spikes” d´ ependant de la position

de la source sur le capteur, il restera toujours un minimum de structures

visibles apr` es la soustraction de la source centrale. Dans la pratique, on s’as-

46 CHAPITRE 3. ORIENTATION DE GALAXIE H ˆ OTES

sure que ces structures n’influencent pas la mod` elisation de la galaxie hˆ ote en

r´ ealisant l’ajustement ` a partir de diff´ erents points initiaux dans l’espace des

param` etres et en v´ erifiant que la routine converge vers un jeu de param` etres

identiques.