3 M´ ethode de la s´ ecante

VIII. Calcul approch´e des z´eros d’une fonction

1 M´ ethode de dichotomie

On rappelle la propri´et´e suivante :

Propri´et´e 1. On consid`ere une fonctionf continue strictement monotone sur l’intervalle[a;b]avecf(a)f(b)<0, alors l’´equation f(x) = 0 admet une unique solutionα sur l’intervalle [a;b]et pour tout c∈]a;b[ :

• si f(c) = 0 alors α=c.

• si f(a)f(c)<0 alors α∈]a;c[.

• si f(c)f(b)<0 alors α∈]c;b[.

a

b c

α

Afin d’encadrer la racineαde la fonctionf sur l’intervalle [a;b], on d´efinit les suites (a_n)_n∈Net (b_n)_n∈N:



















a₀ = a b₀ = b a_n+1 =

a_n si f(a_n)f ^an+b₂ ⁿ

<0

aⁿ+bⁿ

2 sinon

b_n+1 =

_an+bⁿ

2 si f(a_n)f ^an+b₂ ⁿ

<0 b_n sinon

On effectue le calcul dea_n etb_n au moyen de l’algorithme suivant : Fonction: dichotomie(f, a, b, n)

Action: Calcul d’un encadrement du z´ero de la fonctionf sur l’intervalle [a;b] par la m´ethode de dichotomie en nit´erations

D´ebut u←a v←b

Pourk allant de 1 `a n faire w← ^u+v₂

Sif(u)f(w)<0 alors v←w

sinon u←w FinSi FinPour Renvoyeru, v Fin

Exercice 1. D´eterminer dichotomie(x7→x³−3,1,2,5). (justifier au moyen d’un tableau indiquant l’´evolution des valeurs des variables au fil des it´erations)

Exercice 2. Montrer que la propri´et´e «en fin d’it´eration v−u vaut ^b−a₂k » est un invariant de boucle, en d´eduire l’amplitude de l’encadrement obtenu au moyen de la fonction dichotomie.

2 M´ ethode de Newton

D´efinition 1. La m´ethode de Newtond’approximation d’un z´eroαd’une fonctionf consiste en la construc- tion d’une suite r´ecurrente (xn)n∈N o`u x<sub>n+1</sub> est d´efini comme l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des abscisses de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonction f au point d’abscisse x_n.

x_n x_n+1

α

Remarque 1. Il est n´ecessaire de poser des conditions sur la fonction f pour que la suite de Newton soit bien d´efinie et converge vers α.

Exercice 3. On consid`ere la suite (xn)n∈N d’approximation d’un z´ero α d’une fonction f par la m´ethode de Newton, exprimerx_n+1 en fonction de x_n, f(x_n) et f^′(x_n).

Exercice 4. Calculer le termex₃ de la suite (xn)n∈N d’approximation du z´ero de la fonctionf :x7→x³−3 par la m´ethode de Newton en partant de x₀ = 1.

La m´ethode de Newton ne fournit pas d’encadrement du z´ero de la fonctionf et la pr´ecision de l’approxi- mation n’est donc pas connue. En pratique, on cesse les it´erations lorsque la valeur absolue de la diff´erence entre deux termes cons´ecutifs devient inf´erieure `a une valeur donn´ee.

Exercice 5. Ecrire sous forme d’algorithme une fonction´ newton de param`etres f, Df, a et e calculant successivement les termes de la suite(xn)n∈N d’approximation d’un z´ero de la fonctionf de d´eriv´ee Df par la m´ethode de Newton en partant dex<sub>0</sub> =ajusqu’`a obtenir une diff´erence des termes cons´ecutifs inf´erieure

`

a een valeur absolue et retournant le dernier terme obtenu.

Remarque 2. Lorsque la d´eriv´ee de la fonction f n’est pas connue, il est possible d’en calculer une ap- proximation au moyen de la formule f^′(a) ≃

ǫ→0

f(a+ǫ)−f(a)

ǫ .

3 M´ ethode de la s´ ecante

D´efinition 2. La m´ethode de la s´ecante d’approximation d’un z´ero α d’une fonction f consiste en la construction d’une suite r´ecurrente (xn)n∈N o`u x_n+2 est d´efini comme l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des abscisses de la droite passant par les points de coordonn´ees (xn;f(xn))et (x_n+1;f(x_n+1)).

x_n x_n+1

x_n+2 α

Remarque 3. Il est n´ecessaire de poser des conditions sur la fonction f pour que la suite soit bien d´efinie et converge versα.

Exercice 6. On consid`ere la suite (x_n)_n∈N d’approximation d’un z´ero α d’une fonction f par la m´ethode de la s´ecante, exprimer x_n+2 en fonction de xn,x_n+1, f(xn) etf(x_n+1).

Exercice 7. Ecrire sous forme d’algorithme une fonction´ secante de param`etres f, a, b et e calculant successivement les termes de la suite(xn)n∈N d’approximation d’un z´ero de la fonction f par la m´ethode de la s´ecante en partant de x<sub>0</sub> =a etx<sub>1</sub>=bjusqu’`a obtenir une diff´erence des termes cons´ecutifs inf´erieure `a een valeur absolue et retournant le dernier terme obtenu.

Exercices suppl´ ementaires

Exercice 8. Ecrire sous forme d’algorithme une fonction´ dichotomiede param`etresf,a,b, etnpermettant de calculer un encadrement du z´ero de la fonction f sur l’intervalle [a;b] avec une amplitude inf´erieure ou

´egale `a 10⁻ⁿ. D´eterminer la classe de complexit´e temporelle de la fonction dichotomie.

Exercice 9. Ecrire sous forme d’algorithme une fonction´ racinede param`etre tpermettant de calculer une valeur approch´ee de la racine carr´ee de la valeur de t au moyen de la m´ethode de dichotomie avec une pr´ecision de10 chiffres apr`es la virgule.

Exercice 10. La m´ethode de la fausse positionest une modification de la m´ethode de dichotomie consistant

`

a choisir pour c non pas la valeur ^a+b₂ mais l’abscisse du point d’intersection de la droite passant par les points de coordonn´ees (a;f(a)) et (b;f(b))avec l’axe des abscisses.

1. Faire une figure.

2. Exprimer c en fonction de a,b et f.

Exercice 11. Montrer que la m´ethode de la s´ecante peut s’obtenir par approximation du nombre d´eriv´e dans la m´ethode de Newton.

R´ eponses

1)

k w f(u)f(w)<0 u v

1 2

1 1,5 Vrai 1 1,5

2 1,25 Faux 1,25 1,5

3 1,375 Faux 1,375 1,5

4 1,4375 Faux 1,4375 1,5

5 1,46875 Vrai 1,4375 1,46875

2)

valeur de k valeur de u valeur dev

i x y

i+ 1 x ^x+y₂

x+y

2 y

On remarque que ^x+y₂ −x = y − ^x+y₂ = ^y−₂^x ce qui prouve que la propri´et´e est un invariant de boucle, la propri´et´e est vraie pour la premi`ere it´eration et le demeure pour la derni`ere, l’amplitude de l’encadrement obtenu est donc ^b−a₂ⁿ .

3) On a f(xn)−0

x_n−x_n+1 =f^′(xn) d’o`u x_n+1=xn− f(xn)

f^′(x_n) sif^′(xn)6= 0.

4) On montre que x_n+1= 2x³_n+ 3

3x²_n d’o`ux₃≃1,4428.

5)

Fonction: newton(f, Df, a, e)

Action: Calcul du dernier terme de la suite d’approximation par la m´ethode de Newton d’un z´ero de la fonctionf de d´eriv´ee Df de premier termeaavec une diff´erence des deux derniers termes inf´erieure `a een valeur absolue

D´ebut u←a

v←a− f(a) Df(a)

TantQue|v−u|> efaire u←v

v←v− f(v) Df(v) FinTantQue Renvoyerv Fin

6) On a f(xn)

x_n−x_n+2 = f(x_n+1)

x_n+1−x_n+2 d’o`u x_n+2= x_nf(x_n+1)−x_n+1f(xn) f(x_n+1)−f(x_n) .

7)

Fonction: secante(f, a, b, e)

Action: Calcul du dernier terme de la suite d’approximation par la m´ethode de la s´ecante d’un z´ero de la fonction f de premiers termesaetb avec une diff´erence des deux derniers termes inf´erieure `a een valeur absolue

D´ebut u←a v←b

TantQue|v−u|> efaire w←u

u←v

v← wf(v)−vf(w) f(v)−f(w) FinTantQue

Renvoyerv Fin

8)

Fonction: dichotomie(f, a, b, n)

Action: Calcul d’un encadrement d’amplitude 10⁻ⁿ du z´ero de la fonction f sur l’intervalle [a;b] par la m´ethode de dichotomie

D´ebut u←a v←b

TantQue|v−u|>10⁻ⁿ faire w← ^u+v₂

Sif(u)f(w)<0 alors v←w

sinon u←w FinSi FinTantQue Renvoyeru, v Fin

Le nombre d’it´erations est le plus petit entierN v´erifiant b−a

2^N <10⁻ⁿdoncN =⌊^ln(b−a)+n_{ln 2} ^{ln 10}⌋+ 1 et la classe de complexit´e temporelle est O(n).

9) On utilise la fonction f :x7→x²−t.

Fonction: racine(t)

Action: Calcul d’une valeur approch´ee de la racine carr´ee de la valeur detau moyen de la m´ethode de dichotomie avec une pr´ecision de 10 chiffres apr`es la virgule

D´ebut

Sit <1alors u←t v←1 sinon

u←1 v←t FinSi

TantQue|v−u|>10⁻¹⁰ faire w← ^u+v₂

Siw² > talors v←w sinon

u←w FinSi FinTantQue Renvoyer u+v

2 Fin

10)

a

b c

α

On a f(a)−0

a−c = f(b)−0

b−c d’o`u c= af(b)−bf(a) f(b)−f(a) . 11) On ax_n+2=x_n+1−(x_n+1−x_n)f(x_n+1)

f(xn+1)−f(xn) ce qui correspond `a l’approximationf^′(x_n+1)≃ f(x_n+1)−f(x_n) x_n+1−x_n dans la m´ethode de Newton.