nom- bres distincts. Nous ne manipulerons donc pas directement les nombres r´ eels mais des approximations. Le type double permet de repr´ esenter les nombres entre −1.7 × 10

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IUT Littoral 2019 - 2020

Info 2A Ana. Num. – C++

TP 1 - Introduction

Pour repr´ esenter les nombres r´ eels nous allons utiliser le type double du C++. Le type double ´ etant habituellement cod´ e sur 64 bits, nous n’aurons acc` es qu’` a 2

⁶⁴

nom- bres distincts. Nous ne manipulerons donc pas directement les nombres r´ eels mais des approximations. Le type double permet de repr´ esenter les nombres entre −1.7 × 10

⁻³⁰⁸

et 1.7 × 10

³⁰⁸

.

1. Fonction r´ eelle

Une fonction math´ ematique f : R → R sera cod´ ee en C++ par double f(double).

Exercice 1. On rappel que pour tout x ∈ R la fonction exponentielle est donn´ ee par : exp(x) =

+∞

X

k=0

x

^k

k! .

a. Ecrire une fonction double exp v1(double x,size t n) qui retourne la valeur approch´ ee

exp

_n

(x) =

n

X

k=0

x

^k

k!

de exp(x).

b. Tester la fonction exp v1 pour x = 1 et n = 10, 15, 20 et 25.

c. Ecrire une fonction double exp v2(double x,double p) qui retourne une valeur approch´ ee exp

_n

(x) de exp(x) v´ erifiant

| exp

_n+1

(x) − exp

_n

(x)| = |x|

ⁿ⁺¹

(n + 1)! 6 p Exercice 2. Reprendre l’exercice 1 pour

arctan(x) =

+∞

X

k=0

(−1)

^k

x

^2k+1

2k + 1 .

Tester les fonctions pour x = −0.7 (Cette m´ ethode de calcul de arctan(x) fonctionne bien que pour des petites valeurs de x.)

Exercice 3. Soit a > 0 un nombre r´ eel. On consid` ere la suite (u

n

) donn´ ee par u

₀

= 1 et u

_n+1

= 1

2 u

_n

+ a u

_n

pour n > 0.

On suppose que la suite (u

_n

) converge.

a. Expliquer rapidement pourquoi (u

_n

) converge vers √ a.

b. Coder une fonction double sqrt(double a,size t n) qui retourne u

_n

pour n’importe quel nombre a > 0.

c. Tester votre fonction pour diff´ erentes valeurs de a et de n. Par exemple a = 2 et

n = 4, 5, 6.

(2)

2

2. Quadrature

Soit I = [a, b] un intervalle de R et f une fonction continue de I dans R . Nous souhaitons obtenir une valeur approch´ ee de

A = Z

b

a

f (t)dt.

Exercice 4. Fixons un entier n > 1. Nous souhaitons d´ ecouper l’intervalle I en n sous- intervalles I

₁

, . . . , I

_n

de mˆ eme longueur.

a. Quelle est la longueur de l’intervalle I ? Et celle des intervalles I

_k

? Pour k = 1, . . . , n, on pose I

k

= [x

k

, x

k+1

].

b. D´ eterminer les valeurs de x

_k

pour tout k ∈ {1, . . . , n + 1}.

c. Justifier l’´ egalit´ e

Z

b

a

f (t)dt =

n

X

k=1

Z

x_k+1

xk

f(t)dt.

Afin d’obtenir une valeur approch´ ee de A nous consid´ erons diff´ erentes m´ ethodes don- nant des valeurs approch´ ees des int´ egrales

A

k

= Z

xk+1

xk

f(t)dt

pour tout k ∈ {1, . . . , n}.

Exercice 5 (M´ ethode des rectangles). Fixons un entier k ∈ {1, . . . , n}. La m´ ethode des rectangles consiste ` a approcher f sur l’intervalle I

k

par la fonction constante

f

_k

(x) = f(x

_k

) + f (x

_k+1

)

2 .

a. Faire un dessin

b. Quelle est la valeur approch´ ee de A

_k

donn´ ee par cette m´ ethode ?

c. Ecrire (en pseudo langage) un algorithme permettant de calculer la valeur ap- proch´ ee de A en utilisant la m´ ethode des rectangles.

Exercice 6 (M´ ethode de Simpson). Fixons un entier k ∈ {1, . . . , n}. La m´ ethode de Simpson consiste ` a approcher f sur l’intervalle I

k

par une fonction parabolique f

k

passant par les points (x

k

, f (x

k

)) et (m

k

, f(m

k

)) et (x

k+1

, f (x

k+1

)) o` u m

k

=

^x^k^+x₂^k+1

est le milieu de l’intervalle I

k

.

a. Faire un dessin

On note f

_k

(x) = a

_k

× x

²

+ b

_k

×x + c

_k

l’approximation de f ainsi obtenue sur l’intervalle I

_k

. b. D´ eterminer a

_k

, b

_k

et c

_k

en fonction de f, a

_k

, b

_k

et c

_k

.

c. Quelle est la valeur approch´ ee de A

_k

donn´ ee par cette m´ ethode ?

d. Ecrire (en pseudo langage) un algorithme permettant de calculer la valeur ap- proch´ ee de A en utilisant la m´ ethode des trap` ezes.

Exercice 7. Coder les deux m´ ethodes d’approximation de A obtenues aux exercices

pr´ ec´ edents en C++.

(3)

3

3. Calcul approch´ e de π .

Le but de cette section est de vous faire d´ ecouvrir diff´ erentes m´ ethodes retournant une valeur approch´ ee de π.

Exercice 8. Supposons qu’on tire al´ eatoirement des fl´ echettes sur la cible suivante :

On suppose que le carr´ e est de cˆ ot´ e 1.

a. Quel est la surface du carr´ e ? Du quart de disque ?

b. Quel est la propabilit´ e qu’une fl´ echette touchant la cible soit dans la zone grise ? c. En d´ eduire une m´ ethode probabiliste donnant une valeur approch´ ee de π.

d. Ecrire une fonction double monte carlo(size t n) qui effectue n tires de fl´ echettes al´ eatoirement sur la cible et retourne la valeur approch´ ee de π ainsi obtenue.

Exercice 9. On consid` ere la fonction f de [0, 1] dans R donn´ ee par f (x) = √

1 − x

²

et un entier n non nul quelconque. Conne ` a la section 2, on d´ ecoupe l’intervalle [0, 1] en n sous-intervalles I

_k

= [α

_k

, α

_k+1

] pour k = 1, ..., n. On suppose que les intervalles I

_k

sont de longueur

¹_n

et qu’on a 0 = x

1

< x

2

< ... < x

n

< x

n+1

= 1. La courbe de la fonction est le quart de cercle de l’exercice pr´ ec´ edent. On a donc

π 4 =

Z

1

0

f(t)dt =

n

X

k=1

Z

xk+1

xk

√ 1 − t

²

dt.

a. Ecrire une fonction double pi rectangle(double n) qui retourne une approx- imation de π en utilisant la m´ ethode des rectangles pour approximer l’int´ egrale de f . On utilisera la fonction sqrt d´ efinie ` a l’exercice 3 (en prenant 20 pour le param` etre n.)