MAP431 M´ethode de p´enalisation

MAP431

M´ ethode de p´ enalisation

Sujet propos´e par B. Maury

Nous proposons ici une ´etude de la m´ethode de p´enalisation appliqu´ee `a la minimisation de fonctionnelles quadratiques sous contrainte lin´eaire. Nous montrons sur des exemples (du type

´equation de la chaleur) comment cette m´ethode peut ˆetre utilis´ee d’une part pour prendre en compte des mod`eles non standards de conduction de la chaleur, et d’autre part pour r´esoudre des probl`emes pr´esentant une certaine complexit´e g´eom´etrique (par exemple quand le domaine est un carr´e trou´e) en utilisant pourtant un maillage cart´esien du domaine global qui ne respecte pas la g´eom´etrie.

1 Pr´ eliminaires th´ eoriques

On d´esigne par V un espace de Hilbert. On se donne a(·,·) une forme bilin´eaire sym´etrique coercive de constante de coercivit´eα, etϕun ´el´ement deV^′. On d´efinit la fonctionnelle

J :v∈V 7−→J(v) = 1

2a(v, v)− hϕ , vi.

On s’int´eresse au probl`eme de minimisation sous contrainte (P)







u∈K, J(u) = inf

v∈KJ(v), (1)

o`u K est un sous-espace vectoriel de V d´efini comme noyau d’une forme bilin´eaire sym´etrique continue et positive

K={u∈V , b(u, v) = 0 ∀v∈V}={u∈V , b(u, u) = 0}.

Pour toutε >0, on introduit la fonctionnelle d´efinie par Jε(u) =J(u) + 1

2εb(u, u).

1)a) Montrer que Jε admet un unique minimiseur surV pour tout ε >0.

b) Montrer que la suite (u^ε) est born´ee dansV.

c) Montrer queu^ε converge faiblement vers u, la solution de (P).

c bis) (Facultatif) Montrer que la convergence de u^ε vers u est forte (on pourra montrer que la norme de u^ε pour le produit scalaire associ´e `a a(·,·) tend vers la norme de u pour ce mˆeme produit scalaire).

d) Montrer que la forme lin´eairev7→b(u^ε, v)/εtend vers un ´el´ementξ deV^′ que l’on explicitera en fonction de la solution exacte u(on pourra admettre la convergence forte de u^ε vers u).

1

2 Applications en dimension 1 (Scilab)

On s’int´eresse `a la d´etermination du champ de temp´erature sur une barre (intervalle I =]0,1[) chauff´ee (terme source f ∈L<sup>2</sup>(I)), dont les extr´emit´es sont maintenues `a la temp´erature nulle (conditions de Dirichlet homog`enes aux extr´emit´es deI) dans la situation particuli`ere suivante : on suppose que deux pointsx1 etx2 deI sont reli´es par un conducteur parfait et isol´e (que nous appellerons un«pont») qui identifie instantan´ement la temp´erature en ces deux points. Si l’on note λle flux de chaleur (inconnua priori) qui va dex2 vers x1, le probl`eme peut s’´ecrire

−u^′′=f+λ(δ1−δ2), u(0) =u(1) = 0, u(x1) =u(x2) (⋆), o`u δi est la mesure de Dirac enxi.

On note V =H0¹(I),

K={v∈V , v(x1) =v(x2)} , J(v) = 1 2

Z

I

v^′2−

Z

I

f v.

2) Montrer que le probl`eme qui consiste `a minimiserJ sur K est bien pos´e, et faire le lien avec le mod`ele (⋆) ci-dessus.

3) Appliquer la m´ethode de p´enalisation `a ce probl`eme, et r´esoudre `a l’aide de Scilab le probl`eme de minimisation p´enalis´e. On pourra dans un premier temps consid´erer le cas o`u x1 et x2 sont des points du maillage, puis consid´erer ensuite le cas g´en´eral.

3 bis) (facultatif) Montrer que cette m´ethode permet d’approcher le fluxλ.

4) G´en´eraliser l’approche `a un plus grand nombre de points, et «montrer » (num´eriquement) que l’ajouts de ces ponts infiniment conducteurs permet de faire baisser la temp´erature maximale de la barre pour un champ source f donn´e (par exemple f ≡1).

3 Applications en dimension 2 (FreeFem++)

3.1 Probl`eme de Dirichlet dans un domaine trou´e

On consid`ere un domaine born´e Ω du plan R<sup>2</sup>, etO un sous-domaine fortement inclus dans Ω, c’est-`a-dire que B ⊂Ω. ´Etant donn´eef une fonction de L²(Ω\B), on s’int´eresse au probl`eme suivant :

( −△u = f dans Ω\O

u = 0 sur ∂Ω∪∂O. (2)

On introduit

v∈V =H0¹(Ω)7−→Jε(v) = 1 2

Z

Ω

|∇v|²− Z

Ω

f v+ 1 2ε

Z

ΩI^Ov², 2

o`u I<sup>O</sup> est la fonction caract´eristique de O. Dans ce qui pr´ec`ede,f a ´et´e prolong´ee par 0 dansO. On note u^ε l’´el´ement de V qui minimiseJε.

5) Montrer que le cadre th´eorique de la section pr´ec´edente s’applique `a cette situation.

6) R´esoudre num´eriquement le probl`eme de minimisation p´enalis´e `a l’aide de FreeFem++. On utilisera un maillage structur´e du domaine Ω (commande square(N,N)), des ´el´ements finis d’ordre 1, et on pourra prendre pour Oun disque, et pour Ω un carr´e.

6 bis) (facultatif) Montrer que la fonction I^Ou^ε/ε converge dans un certain sens vers quelque chose (`a pr´eciser). Mettre en ´evidence cette convergence num´eriquement, et donner une in- terpr´etation physique de la limite (par exemple dans le cas o`u l’on consid`ere queuest un champ de temp´erature).

3.2 Obstacle de conductivit´e infinie

On se place dans le mˆeme cadre g´eom´etrique que pr´ec´edemment, et l’on consid`ere le probl`eme suivant :



















−△u = f dans Ω\O u = 0 sur ∂Ω u = U sur ∂O Z

∂O

∂u

∂n = 0,

(3)

o`u U est une constante r´eelle dont la valeur est inconnue. Ce probl`eme correspond `a l’´equation de la chaleur sur une plaque dont une partie (O) est suppos´ee de conductivit´e infinie, de telle sorte que la temp´erature y est uniforme.

On note comme pr´ec´edemment V =H0¹(Ω), et J la fonctionnelle d´efinie par v∈V =H0¹(Ω)7−→J(v) = 1

2 Z

Ω

|∇v|²− Z

Ω

f v.

L’espace contraint est maintenant

K=ⁿv∈V , v_|O = constante^o.

7) Pr´eciser le lien entre le mod`ele de d´epart et ce probl`eme de minimisation sous contrainte.

8) R´esoudre num´eriquement le probl`eme p´enalis´e `a l’aide de FreeFem (on pourra ´ecrireKcomme l’espace des fonctions de V dont le gradient est nul presque partout surB).

3

4 Erreur d’approximation (facultatif)

9) Faire l’´etude (th´eorique et/ou num´erique) de l’erreur d’approximation, pour l’un des cas consid´er´es pr´ec´edemment. Le probl`eme effectivement r´esolu d´ependant de deux param`etres (h diam`etre de la triangulation etεparam`etre de p´enalisation), on s’attachera `a capturer les ordres de convergences partiels par rapport `a chacun de ces deux param`etres (en prenant par exemple ε «tr`es » petit, et h d´ecroissant vers 0). Pr´ecisons que l’analyse th´eorique des probl`emes bidi- mensionnels d´epasse le cadre du cours d’Analyse Num´erique.

N.B. On aura int´erˆet, pour les tests num´eriques de l’erreur, `a consid´erer des conditions de Dirichlet non-homog`enes sur ∂Ω, ce qui permet de consid´erer par exemple, pour le cas du probl`eme de Dirichlet dans un domaine `a trou (le disque de centre (x0, y0) et de rayon R), la fonction ´egale `a

u(x, y) = (x−x0)²+ (y−y0)²−R²,

solution de −△u=−4 sur Ω\O, avec des conditions de Dirichlet homog`enes surγ.

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