E134. Les suites les plus longues du millésime
Dans chacune de ces deux suites,on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kième terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ième terme du (k − 2)ième terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que le termes sont positifs ou nuls.
Q1 Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
Q2 Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait 21 termes dont le dernier est égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
Solution proposée par Bernard Grosjean
Q1 Soit Un les termes de la suite.
Nous avons U1 = 2018 ; U2 = x ; U3 = 2018 – x ; U4 = 2x – 2018 ; U5 = 2*2018 – 3x
U6 = 5x – 3*2018 ; U7 = 5*2018 – 8x ; U8 = 13x – 8*2018 ; U9 = 13*2018 – 21x U10 = 34x – 21*2018 ; U11 = 34*2018 – 55x ; U12 = 89x – 55*2018 ……
On observe – que les U2t (indices pairs) sont de la forme k1x – k2*2018 et que les U2t+1 (indices impairs) sont de la forme λ1*2018 – λ2 x Ces coefficients peuvent se déduire de la suite de Fibonnaci
L’alternance des termes et le fait que les Un ne doivent pas être négatifs, limite la recherche de x.
- U3 et U4 entraînent 1009 ≤ x ≤ 2018 - U4 et U5 entraînent 1009 ≤ x ≤ 1346 - U5 et U6 entraînent 1210 ≤ x ≤ 1346 - U6 et U7 entraînent 1210 ≤ x ≤ 1262 - U7 et U8 entraînent 1241 ≤ x ≤ 1262 - U8 et U9 entraînent 1241 ≤ x ≤ 1249 - U9 et U10 entraînent 1246 ≤ x ≤ 1249 - U10 et U11 entraînent 1246 ≤ x ≤ 1247 - U11 et U12 entraînent 1247 ≤ x ≤ 1247 On en déduit que
U
2= x = 1 247
La suite la plus longue comporte
11 termes :
2018 – 1247 – 771 – 476 – 295 – 181 – 114 – 67 – 47 – 20 – 27 (le suivant est négatif : -7)
Q2 Nous avons Un + Un-1 = Un-2
En remontant de Un à U1 les termes, sont croissants (sauf Un-1 que l’on peut choisir arbitrairement) La solution en découle, en prenant U21 = 2018 et U20 = 0
Les 21 termes sont alors : U21 = 2 018
U20 = 0 U19 = 2 018 U18 = 2 018 U17 = 4 036 U16 = 6 054 U15 = 10 090 U14 = 16 144 U13 = 26 234 U12 = 43 378 U11 = 68 612 U10 = 110 990 U9 = 179 602 U8 = 290 592 U7 = 470 194 U6 = 760 786 U5 = 1 230 980 U4 = 1 991 766 U3 =3 222 746 U2 = 5 214 512
