Q₁ Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible

E134 − Les suites les plus longues du millésime

Dans chacune de ces deux suites, on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le k^ème terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)^ème terme du (k − 2)^ème terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que les termes sont positifs ou nuls.

Q₁ Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.

Q₂ Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait le plus grand nombre possible de termes égal à 21 avec un dernier terme égal à 2018.

Dans les deux cas, justifiez votre réponse.

Solution proposée par Yannick Huet Q1

Soit U la suite ayant 2018 comme premier terme U0=2018 U2 = U0-U1

U3=U1-U2=U1-U0+U1=2U1-U0 U4=U2-U3=U0-U1-2U1+U0=2U0-3U1 U5=U3-U4=2U1-U0-2U0+3U1=5U1-3U0

on se rend compte que ce sont les termes de la suite des nombres de Fibonacci

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 … 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 d’ou U23= 28657U1-17711U0>=0

=> U1>=17711 * 2018 / 28657

=>U1>=1247,19

et U10 = 34 U0 -55 U1>=0 U1<=34*2018/55

=>U1<=1247

D’ou U1=1247 est le second terme de cette suite de sorte que le nombre total de terme soit de 11 U0=2018

U1=1247 U2=771 U3=476 U4=295 U5=181 U6=114 U7=67 U8=47 U9=20 U10=27 U11=-7 Q2

Soit V la suite décrite dans la question 2 où V21=2018

D’après ce que l’on a vu dans la question 1 ,V21= 2018=-10946 V1 +6765 V0

10946 et 6765 sont premiers entre eux et donc divise 2018.

Une solution particulière de cette équation diophantienne -10946 V1 +6765 V0=1 est V0=4181 et V1=2584

10946=-6765*-1+4181 -6765=-4181*1-2584 -4181=-2584-1597 -2584=-1597-987 -1597=-987-610 -987=-610-377 -610=-377-233 -377=-233-144 -233=-144-89 -144=-89-55 -89=-55-34 -55=-34-21 -34=-21-13 -21=-13-8 -13=-8-5 -8=-5-3 -5=-3-2 -3=-2-1

donc une solution particulière de 2018=-10946 V1 +6765 V0 est (V0=8437258, V1=5214512) vérification

V0=8437258 V1=5214512 V2=3222745 V3=1991766 V4=1230980 V5=760786 V6=470194 V7=290592 V8=179602 V9=110990 V10=68612 V11=42378 V12=26234 V13=16144 V14=10090 V15=6054 V16=4036 V17=2018 V18=2018 V19=0 V20=2018